2018-2019学年上海市静安区高一(下)期末数学试卷

2018-2019学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷

副标题

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共3小题，共12.0分）

1. “△ABC三个内角的度数可以构成等差数列”是“△ABC中有一个内角为60°”的

（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 关于x的三角方程

在[0，2π）的解集为（ ）

A. C.

B. D.

222

3. 在△ABC中，a+b+c=2bccosA+2accosB，则△ABC一定是（ ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

4. 弧长等于直径的圆弧所对的圆心角的大小为______弧度．（只写正值）

5. 化简：6. 若tanα=-2，则7. 若

=______． =______．

，则sin2α=______．

8. 若tanθ=-3，则cos2θ=______．

9. 某船在A处看到灯塔S在北偏西40°方向，它向正北方向航行50海里到达B处，看

到灯塔S在北偏西76°方向，则此时船到灯塔S的距离为______海里．

10. 类比反正切函数的定义，我们将函数y=cotx，x∈（0，π）的反函数定义为反余切函

=______． 数，记为：y=arccotx，x∈R，则

11. 某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数前一排多两个座位，第1排有18个

座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有座位______个． 三、解答题（本大题共4小题，共56.0分）

12. （1）请直接运用任意角的三角比定义证明：cos（α-π）=-cosα；

（2）求证：

．

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13. 设函数．

（1）请指出函数y=f（x）的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）

（2）请以正弦函数y=sinx的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：y=f（x）在区间

上单调递减．

14. 设函数f（x）=sin2x+cos2x（x∈R）

（1）请作出该函数在长度为一个周期的闭区间的大致图象；

（2）试判断该函数的奇偶性，并运用函数的奇偶性定义说明理由； （3）求该函数的单调递增区间．

15. 已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1，设bn=an-1．

（1）求证：数列{bn}是等比数列；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求满足Sn＞2019的n的最小值．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

0

解：设三角形的三个角为：A、B、C；则：A+B+C=180，

若：“△ABC三个内角的度数可以构成等差数列”即：A、B、C构成等差数列；则：2B=A+C，因为：A+B+C=1800，

0

所以：3B=180，B=60°，可推出“△ABC中有一个内角为60°”

000若：“△ABC中有一个内角为60°”，假设B=60°，则：A+C=180-60=120=2B；

即：2B=A+C，根据等差中项的定义可得A、B、C构成等差数列． 所以能推出“△ABC三个内角的度数可以构成等差数列”

由充要条件的定义可得：“△ABC三个内角的度数可以构成等差数列”是“△ABC中有一个内角为60°”的充要条件． 故选：C．

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．属于中档题， 2.【答案】C

【解析】

解：∵，x∈[0，2π），

，

}．

∴x=arcsin，或x=∴方程的解集为：{arcsin，故选：C．

由正弦函数的单调性可得方程sinx=在[0，2π）上的解集． 本题考查了三角方程的解法，属基础题． 3.【答案】D

【解析】

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222

解：∵由余弦定理可得：b+c=a+2bccosA， 2

∴由已知可得：2a+2bccosA=2bccosA+2accosB，

∴可得：a=ccosB=c?

222

，整理可得：a+b=c，

∴C为直角，△ABC一定为直角三角形． 故选：D．

222

由已知利用余弦定理可得a+b=c，可求C为直角，即可判断△ABC一定为直

角三角形．

本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题． 4.【答案】2

【解析】

解：设半径为r，则弧长为2r，

由弧长公式得弧所对的圆心角的弧度数是故答案为：2．

设出半径与弧长，利用弧长公式l=rα求出弧所对的圆心角的弧度数． 解决弧长与半径问题，一般利用弧长公式l=rα，注意公式中圆心角以弧度为单位，属于基础题． 5.【答案】cosα

【解析】

=2．

解：

故答案为：cosα．

=-sinα?（-cotα）=cosα，

由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题． 6.【答案】3

【解析】

解：∵tanα=-2， 则

故答案为：3

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==3．