的 （ ） A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
（2）（2005全国卷文科）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
OA?OB?OB?OC?OC?OA，则点O是?ABC的（ ）
（A）三个内角的角平分线的交点 线的交点 交点
（C）三条中线的交点
（B）三条边的垂直平分
（D）三条高的
（3）（2005全国卷Ⅰ）?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OH?m(OA?OB?OC)，则实数m = 答案：（1）B （2）D （3）m=1
【易错点37】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。
uuuruuur例37、已知?ABC中,a?5,b?8,c?7,求BC?CA
uuuruuur【易错点分析】此题易错误码的认为两向量BC和CA夹角为三角形ABC的内角C
导致错误答案.
解析:由条件a?5,b?8,c?7根据余弦定理知三角形的内角C?60?，故两向量
uuuruuuruuuruuur?BC和CA夹角为C?60的补角即BC,CA?120?,故据数量积的定义知uuuruuurBC?CA?5?8?cos120???20.
【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概
??念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是??0,180?，两直线的夹角的范围是????????，两向量的夹角的范围是0,900,180????，异面直线所成的角的范围是
直线和平面所成的角的范围是? ?0,90??，?0,90??二面角的取值范围是?0,180?。
??????【练37】（2004上海春招）在ΔABC中，有如下命题，其中正确的是（）
uuuruuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuuruuur（1）AB?AC?BC（2）AB?BC?CA?0（3）若AB?AC?AB?AC?0，
????uuuruuur则ΔABC为等腰三角形（4）若AC?AB?0，则ΔABC为锐角三角形。
A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（3） D、（2）（3）（4）
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答案：C
【易错点38】向量数积积性质的应用。
例38、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a ? 5b垂直，a ? 4b与7a ? 2b垂直，求a与b的夹角。
【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。
解析：由 (a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 ① (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 ②两式相减：2a?b = b2代入①或②得：a2 =
a?bb21b设a、b的夹角为?，则cos? = ∴? = 60?。 ??2|a||b|2|b|22
【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂ?ａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜２或｜ａ｜＝a?a?a2④ｃｏｓθ＝a?b⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜ a?brrr【练38】（1）（2005高考江西卷）已知向量a?(1,2),b(?2,?4),|c|?5,若
rrrrr5(a?b)?c?,则a与c的夹角为（ ）A．30°
2 B．60°
C．120° D．150°答案：C
rrrrrr（2）（2005浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－
re|，则
rrrrrrrrrrrr(A) a⊥e (B) a⊥(a－e) (C) e⊥(a－e) (D) (a＋e)⊥(a－e)答
案：C
【易错点39】向量与三角函数求值、运算的交汇
????a?(1?cos?,sin?),b?(1?cos?,sin?),c?(1,0),??(0,?),??(?,2?)，例39、a与
???????b的值. c的夹角为θ1， 与c的夹角为θ2，且?1??2?,求sin32【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误
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结论。 解析：
r???a?(2cos,2sincos)?2cos(cos,sin),?b?(2sin2,2sincos)2222222222???????2sin?2(sin?2,cos?2)Q??(0,?),??(?,2?),???(0,),?(,?),故有
2222???2?rr2cosr?r?a?c2?cos?,????,r?|a|?2cos|b|?2sin?cos?1?r12222|a|?|c|2cos?2?rr2sin2b?c2?sin?,0??????,??????因r??cos?2?r2222222|b|?|c|2sin?2?1??2??2??2??2,????2???6，从而sin?????sin???1.
262【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。
【练39】（1）（2005高考江西）已知向量
???xx??x?x?a?(2cos,tan(?)),b?(2sin(?),tan(?)),令f(x)?a?b是否存在实
2242424数x?[0,?],使f(x)?f'(x)?0（其中f'(x)是f(x)的导函数）？若存在,则求出x的值；若不存在,则证明之 答案：存在实数x?urr（2）（2005山东卷）已知向量m?(cos?,sin?)和n??2使等式成立。
2?sin?,cos?,????,2??，且
??urr82????cos??的值.答案：?4。 m?n?,求??28?55【易错点40】向量与解三角形的交汇。
→＋4OB→＋5OC=→→
例40、ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA0 。
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→→→→→→
①求数量积，OA·OB ，OB·OC ，OC·OA ；②求ΔABC的面积。 →、4OB→、5OC→三向量的模，故根据数量积的定
【思维分析】第1由题意可知3OA
义及运算律将一向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。
解析：①∵|→OA|=|→OB|=|→OC|=1由3→OA＋4→OB＋5→OC=→0 得：3→OA＋4→OB=－5→OC两边平→→→方得：9→OA2＋24→OA·OB＋16→OB2=25→OC2∴→OA·OB=0同理：由4→OB＋5→OC=－3→OA求得→OB·OC43=－ 由3→OA＋5→OC=－4→OB求得→OA·→OC=－ 55
1144②由→OA·→OB=0,故s?0AB= |→OA||→OB|= 由→OB·→OC=－ 得cos∠BOC=－ ∴sin
225531333
∠BOC=－ ∴s?0BC= |→OB||→OC|sin∠BOC= ，由→OC·→OA=－ 得cos∠COA=－
5210554121
∴sin∠COA= ∴s?0AC= |→OC||→OA|sin∠COA= 即sABC=s?0AB＋s?0AC＋s?0BC=
5252326
＋ ＋ = 1055
【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。
【练40】（1）（2005全国卷Ⅲ）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，
uuuruuur33已知a,b,c成等比数列，且cosB＝。（1）求cotA+cotC的值；（2）设BA?BC?，
24求a?c的值。 答案：（1）47（3）a?c?3。 7???3?（2）已知向量a=（2，2），向量b与向量a的夹角为，且a·b=－2，①求向
4??量b；
②若t?(1,0)且b?t,c?(cosA,2cos2?????C)，其中A、C是△ABC的内角，若三角形2??r的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|b+c|的取值范围.答案：①b?(?1,0)r2rr5或b?(0,?1)②?|b?c|?.
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