【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。
??y?k?x?1?2222解析：联立方程组?2消去y得到1?kx?2kx?k?4?0（1）当??2??x?y?41?k2?0时，即k??1，方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直
2?1?k?023k??线与双曲线只有一个交点。（2）当?时即，方程组只?23????4?4?3k??0?1?k2?0?有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当?时，方程组有两2????4?4?3k??0?1?k2?0232323??k?k?个交点此时?且k??1。（4）当?时即或2333???4?4?3k??0?k??23时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 3232323时直线与双曲线只有一个交点，当??k?3332323或k??时方程组无解33综上知当k??1或k??且k??1。时直线与双曲线有两个交点，当k?此时直线与双曲线无交点。
【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。
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x2【练19】（1）（2005重庆卷）已知椭圆c1的方程为?y2?1，双曲线c2的左右
4焦点分别为c1的左右顶点，而c2的左右顶点分别是c1的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线l:y?kx?2与椭圆c1及双曲线c2恒有两个不同的交点，
uuuruuur且与c2的两个交点A和B满足lOA?OB?6，其中O为原点，求k的取值范x2????????围。答案：（1）?y2?1（2）??1,?13?U??3,?1?U?1,3?U?13,1?
??????315?2????3??23??15?（2）已知双曲线C： ，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有____条。答案：4条（可知kl存在时，令l: y-1=k(x-1)
y2?1中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x- 代入x?42(1-k2)-4=0,∴ 当4-k2=0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ=0有k?5，2有一个切点另：当kl不存在时，x=1也和曲线C有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线）
【易错点20】易遗忘关于sin?和cos?齐次式的处理方法。 例20、已知tan??2，求（1）值.
【思维分析】将式子转化为正切如利用1?sin2??cos2?可将（2）式分子分母除去sin?即可。
cos??sin?；（2）sin2??sin?.cos??2cos2?的
cos??sin?sin?cos??sin?cos??1?tan??1?2??3?22； ?解：（1）
sin?1?tan?1?2cos??sin?1?cos?1?sin2??sin?cos??2cos2? (2) sin??sin?cos??2cos??
sin2??cos2?22sin2?sin???222?2?24?2?? ?cos?2cos?.
sin?2?13?1cos2? 22
【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
(1?sin2??cos2??sec2??tan2??tan?cot?
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用． 【练20】．（2004年湖北卷理科）
??已知6sin2??sin?cos??2cos2??0,??[,?],求sin(2??)的值.
23???答案：?6?53（原式可化为6tan2??tan??2?0，sin?2??3????tan??31?tan2???2） 1?tan2?1326【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。
例21、如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为4?108米)
【易错点分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比等比数列的前n项和。
解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列an，则数列an是以a1=0.05?103米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得
a51=0.05×10-3×250=5.63×1010,而地球和月球间的距离为4×108<5.63×1010故可建一座桥。
【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n项和或第n项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。
【练21】（2001全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅
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游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入
11n－1n1（1）an=800+800×(1－)+…+800×(1－)=800×(1－)k－1=4000×［1
555k?114?－()n］
11k－1n55bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)=400×()k－1=1600×［()n－1］
4444k?145?（2）至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入
【易错点22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。 例21、下列命题正确的是（）
A、?、?都是第二象限角，若sin??sin?，则tan??tan?B、?、?都是第三象限角，若cos??cos?，则sin??sin?C、?、?都是第四象限角，若
sin??sin?，则tan??tan?D、?、?都是第一象限角，若cos??cos?，
则sin??sin?。
【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到360度之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。 解析：A、由三角函数易知此时角?的正切线的数量比角?的正切线的数量要小即tan??tan?B、同理可知sin??sin?C、知满足条件的角?的正切线的数量比角?的正切线的数量要大即tan??tan?。正确。D、同理可知应为
sin??sin?。
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