25．（2019?南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C
旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点 F，则CF的长为 4 ．
【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5，继而求得CG=B′E=OH=
=
=2，根据垂径定理可得CF的长．
【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′=∠OHB′=90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′， ∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5， ∴B′H=OE=2.5， ∴CH=B′C﹣B′H=1.5， ∴CG=B′E=OH=
=
=2，
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∵四边形EB′CG是矩形， ∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′， ∴CF=2CG=4， 故答案为：4．
三．解答题（共25小题）
26．（2019?柯桥区模拟）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．
（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式【解答】（1）证明：如图1，连接OB， ∵AB是⊙0的切线， ∴OB⊥AB， ∵CE丄AB， ∴OB∥CE， ∴∠1=∠3， ∵OB=OC， ∴∠1=∠2 ∴∠2=∠3， ∴CB平分∠ACE；
，列方程可得结果．
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（2）如图2，连接BD， ∵CE丄AB， ∴∠E=90°， ∴BC=
=
=5，
∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC=90°， ∴∠E=∠DBC， ∴△DBC∽△CBE， ∴
，
∴BC2=CD?CE， ∴CD=∴OC=
==， ， ．
∴⊙O的半径=
27．（2019?天津）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°， （I）如图①，若D为
的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
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【分析】（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小； （Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小． 【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°， ∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°， ∵D为
的中点，∠AOB=180°，
∴∠AOD=90°， ∴∠ACD=45°； （Ⅱ）连接OD， ∵DP切⊙O于点D， ∴OD⊥DP，即∠ODP=90°， 由DP∥AC，又∠BAC=38°， ∴∠P=∠BAC=38°，
∵∠AOD是△ODP的一个外角， ∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°， ∴∠ACD=64°， ∵OC=OA，∠BAC=38°， ∴∠OCA=∠BAC=38°，
∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°．
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28．（2019?荆门）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2； （2）①利用圆周角定理和垂径定理得到
=
，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，
=，从而解方程求出r即可； ，再计算出OC=3，接着证明
设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵直线DE与⊙O相切于点C， ∴OC⊥DE， 又∵AD⊥DE， ∴OC∥AD． ∴∠1=∠3 ∵OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2， ∴AC平方∠DAE； （2）解：①∵AB为直径， ∴∠AFB=90°， 而DE⊥AD，
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