32．（2019?长春）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°． （1）求∠B的度数． （2）求
的长．（结果保留π）
【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可． 【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A， ∠BAC=90°， ∵∠C=40°， ∴∠B=50°；
（2）连接OD，
∵∠B=50°， ∴∠AOD=2∠B=100°， ∴
33．（2019?白银）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，
31
的长为=π．
AB分别相交于点D，F，且DE=EF． （1）求证：∠C=90°；
（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．
【分析】（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以BC，从可证明BC⊥AC；
，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥
（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA=值．
【解答】解：（1）连接OE，BE， ∵DE=EF， ∴
==，从而可求出r的
∴∠OBE=∠DBE ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE ∴∠OEB=∠DBE， ∴OE∥BC
∵⊙O与边AC相切于点E， ∴OE⊥AC ∴BC⊥AC ∴∠C=90°
（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA= ∴AB=5，
设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r， 在Rt△AOE中，sinA=
=
=
32
∴r=
=
∴AF=5﹣2×
34．（2019?绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E． （1）求证：BE=CE；
（2）若DE∥AB，求sin∠ACO的值．
【分析】（1）证明：连接OD，如图，利用切线长定理得到EB=ED，利用切线的性质得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ACB，则EC=ED，从而得到BE=CE； （2）作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE=CE=r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH=DH=接着根据勾股定理计算出OC=
r，CD=
r，
r，然后根据正弦的定义求解．
【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵EB、ED为⊙O的切线， ∴EB=ED，OD⊥DE，AB⊥CB，
∴∠ADO+∠CDE=90°，∠A+∠ACB=90°， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO，
33
∴∠CDE=∠ACB， ∴EC=ED， ∴BE=CE；
（2）解：作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r， ∵DE∥AB，
∴∠DOB=∠DEB=90°， ∴四边形OBED为矩形， 而OB=OD，
∴四边形OBED为正方形， ∴DE=CE=r，
易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形， ∴OH=DH=
r，CD=
r，
=
r，
在Rt△OCB中，OC=
在Rt△OCH中，sin∠OCH===，
即sin∠ACO的值为．
35．（2019?德州）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是
的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，
≈1.73，结果保留一位小数）．
爬回至点B，
34
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；
（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵直线CD与⊙O相切， ∴OC⊥CD， ∵点C是
的中点，
∴∠DAC=∠EAC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠EAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∴AD⊥CD；
（2）解：∵∠CAD=30°， ∴∠CAE=∠CAD=30°， 由圆周角定理得，∠COE=60°， ∴OE=2OC=6，EC=
OC=3
，
=
=π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．
36．（2019?北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切
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