同济六版高数练习册答案 第八章 多元函数微分法及其应用-35页word资料 

第八章 多元函数微分法及其应用 §1极限与连续 1． 求下列极限： （1）limx?1y?0ln(x?ey)x?y22； ln(x?ey)x?y22解：初等函数在其定义域内连续。limx?1y?0=limx?1y?0ln(1?e0)1?022=ln2 （2）lim（3）lim2?xy?4xyxyxy?1?1x?0y?0 ?limx?0y?0?xy1?? 4xy(2?xy?4)x?0y?0 ?limx?0y?0xy(xy?1?1)?2 xy（4）limy?0sin(xy)sin(xy)=limx?2?1?2 x?2x?2yxyy?01212222(x?y)(x?y)1?cos(x?y)22（5）lim?lim2?0 22?lim22222xyxyx?0(x2?y2)exyex?0(x?y)ex?0y?0y?0y?0222．证明下列极限不存在 （1）limx?y； x?yx?0y?0解令y?kx则 x?yx?kx1?k??，不同的路径极限不同，故极限不存在。 limlimx?yx?kx1?kx?0x?0y?0y?0（2）limx2y2xy?(x?y)222. x?0y?0x2y2当y?x时lim22?1 2x?0xy?(x?y)y?04x44x2当y?2x时lim42?lim2?0，不同的路径极限不同，故极限不x?04x?xx?04x?1y?0y?0第 - 4 - 页 存在 3． 用定义证明：limxyx?y22?0. x?0y?0解：由xyx?y22?0?12(x?y2)xy?2?x2?y2，故对???0取???，x2?y2x2?y2当(x?0)2?(y?0)2??时xyx?y22?0??，故limxyx?y22?0 x?0y?0§2 偏导数 1． 求下列函数的偏导数： （1）z?xsin(x?y)?cos2(xy)； ?z?sin(x?y)?xcos(x?y)?2cos(xy)[?sin(xy)y]?sin(x?y)?xcos(x?y)?ysin2xy?x?z?xcos(x?y)?2cos(xy)[?sin(xy)x]?xcos(x?y)?xsin2xy ?y（2）z?ln(xy) 解：z??ln(xy)?121?z111?，??ln(xy)?2()y? ?x2xy2xln(xy)1?z111???ln(xy)?2()x? ?y2xy2yln(xy)（3）z?lntan?e2x?y ?z1x11xx?(sec2)?e2x?y?2?cotsec2?2e2x?y ?xtanxyyyyyy?z1xxxxx?(sec2)(?2)?e2x?y??2cotsec2?e2x?y ?ytanxyyyyyyxy（4）z?(1?xy)y 第 - 5 - 页 解：关于x是幂函数故：?z?y(1?xy)y?1y?y2(1?xy)y?1， ?x关于y是幂指函数，将其写成指数函数z?eyln(1?xy)，故： ?z1xy?eyln(1?xy)[ln(1?xy)?yx]?(1?xy)y(ln(1?xy)?) ?y1?xy1?xy（5）u?()z ?ux1zx?z()z?1?()z?1， ?xyyyy?uxxxzx?z()z?1(?2)??2()z?1，关于z是指数函数?yyyyyxy关于x是幂函数故关于y是幂函数故?uxx?()zln。（6）u?arctan(x?y)z ?zyy?u1z(x?y)z?1z?1?(x?y)?z? ?x1?[(x?y)z]21?[(x?y)z]2?u1z(x?y)z?1z?1?z(x?y)(?1)??z2?y1?[(x?y)]1?[(x?y)z]2?u1(x?y)zln(x?y)z?(x?y)ln(x?y)? ?z1?[(x?y)z]21?[(x?y)z]22．填空 ?x2?y2?（1）曲线?z?4在点(2, 4, 5)处的切线与x轴正向所成的倾角为 ?y?4?x2?y2解 法一：由偏导数的几何意义知：函数z?在点(2, 4)关于x的偏导4数就为 曲线在点(2, 4, 5)处的切线与x轴正向所成的倾角（记为?）的正切，即： tan???z2x?|(2,4)，得tan??|(2,4)?1，故??。 ?x44第 - 6 - 页 ??x?x?解 法二：求曲线在点(2, 4, 5)处的切向量，将曲线参数化为?y?4，在?2x?z??16?4x??x的切向量为?1,0,?，故曲线在点(2, 4, 5)处的切向量为?1,0,1?，若记它与x2??轴正向所成的倾角为?，则cos??线与x轴正向所成的倾角为? 411?0?1222，故曲线在点(2, 4, 5)处的切（2）设f(x,y)?x?(y?1)arcsinx，则fx?(x,1)= y法一：f(x,1)?x?(1?1)arcsin法二fx?(x,y)?1?(y?1)1xdf(x,1)?x，故fx?(x,1)?x?1 1dxx?x1故fx?(x,1)?fx?(x,y)|?1 2yy?1?x?1????y?? z? z= . ?y2? x? y1111（3）设z?e1111?(?)xy，则x2?(?)1?(?)1?(?)?z?zxy2? z2? zxyxy由?e，?e，有x?y?2e?2z 22?xx?yy? x? y3．设 ?x2y2, (x, y)?(0, 0)?f(x,y)??(x2?y2)32 ?0, (x, y)?(0, 0) ?用定义证明：f(x,y)在(0, 0)处连续，且偏导数存在. 证明（1）用定义证明f(x,y)在(0, 0)处连续： x2y2(x2?y2)2由0?2232?2232?(x2?y2)12， (x?y)(x?y)第 - 7 - 页 故limf(x,y)?0?f(0,0)，故f(x,y)在(0, 0)处连续 x?0y?0（2）fx(0,0)?limfy(0,0)?lim?x?0f(0??x,0)?f(0,0)0?0?lim?0 ?x?0?x?x?y?0f(0,0??y)?f(0,0)0?0?lim?0 ?x?0?y?y?2z?2z?2z4．求下列函数的二阶偏导数2, 2和： ?x?y?x?y（1）z?arctan?z??x1x y1y?z1xx， ??(?)??2222222?yyx?y?x?yx?y?x?1???1???y???y??2z??z?y??()?()?(y(x2?y2)?1)??y(x2?y2)?22x??2xy(x2?y2)?2222?x?x?x?xx?y?x第 - 8 - 页