24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2
，4），点M，N分别为四边形OABC
边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．
（1）填空：AB的长是 10 ，BC的长是 6 ； （2）当t=3时，求S的值；
（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式； （4）若S=
，请直接写出此时t的值．
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．当t=3时，点N与C重合，OM=3，易求△OMN的面积；
BN=12﹣2t，CF⊥OB于F．（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，作NG⊥OB于G，则F（0，4）．由GN∥CF，推出
=
，即
=
，可得BG=8﹣t，由此即可解决问题；
（4）分三种情形①当点N在边长上，点M在OA上时．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE=段AB上，相遇之后，列出方程即可；
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8， ∴AB=BC=
==6，
=10．
=
，列出方程即可解决问题．③同法当M、N在线
故答案为10，6．
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．
∵C（﹣2∴CE=4OE=2
，4）， ，
=
=6，
在Rt△COE中，OC=
当t=3时，点N与C重合，OM=3， ∴S△ONM=?OM?CE=×3×4=6， 即S=6．
BN=12﹣2t，CF⊥OB于F．（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，作NG⊥OB于G，则F（0，4）．
∵OF=4，OB=8， ∴BF=8﹣4=4， ∵GN∥CF， ∴
=
，即
=
，
∴BG=8﹣t，
∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣t）=t．
（4）①当点N在边长上，点M在OA上时， ?t?t=解得t=
（负根已经舍弃）．
，
②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．
作OE⊥AB于E，则OE==，
=
，
由题意 [10﹣（2t﹣12）﹣（t﹣6）]?解得t=8，
同法当M、N在线段AB上，相遇之后． 由题意?[（2t﹣12）+（t﹣6）﹣10]?解得t=
，
，此时t的值8s或
=，
综上所述，若S=s或s．
【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（10分）已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y=ax2﹣8ax﹣交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）． （1）求抛物线l1，l2的表达式；
（2）当x的取值范围是 2≤x≤4 时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．
【分析】（1）首先确定A、B两点坐标，求出抛物线l1的解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法求出抛物线l2的解析式即可；
（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解：①如图1中，当1≤m≤5时，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意抛物线l1的对称轴x=﹣=4，
∵抛物线l1交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6， ∴A（1，0），B（7，0），
把A（1，0）代入y=ax2﹣8ax﹣，解得a=﹣， ∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+4x﹣， 把C（5，n）代入y=﹣x2+4x﹣，解得n=4， ∴C（5，4），
∵抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同， ∴可以假设抛物线l2的解析式为y=x2+bx+c， 把A（1，0），C（5，4）代入y=x2+bx+c，
得到，解得，
∴抛物线l2的解析式为y=x2﹣2x+．
（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
顶点E（2，﹣），顶点F（4，）
所以2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大， 故答案为2≤x≤4．
（3）∵直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N， ∴M（m，﹣ m2+4m﹣），N（m， m2﹣2m+）， ①如图1中，当1≤m≤5时， MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4， ∴m=3时，MN的最大值为4．
②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4， 5＜m≤7时，在对称轴右侧，MN随m的增大而增大， ∴m=7时，MN的值最大，最大值是12，
综上所述，MN的最大值为12．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
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