2019-2020学年湖北省部分重点中学高三（上）期末
数学试卷（理科）
题号 得分 一 二 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. i2020=（ ）
A. 1 B. -1 C. i D. -i 2. 已知集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（ ）
A. （1，4） B. （2，4） C. （1，2） D. （1，+∞） 3. 若a=ln2，
，
的大小关系为（ ）
三 总分 A. b＜c＜a B. b＜a＜c C. a＜b＜c D. c＜b＜a
4. 当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（ ） A. x3＜3x＜log3x B. 3x＜x3＜log3 x C. log3 x＜x3＜3x D. log3 x＜3x＜x3
5. 已知cos（-α）=2cos（π+α），且tan（α+β）=，则tanβ的值为（ ）
A. -7 B. 7 C. 1 D. -1
6. 将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数
的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
7. 设向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞0，若 A，B，
C 三点共线，则+的最小值为（ ）
A. 4
8. 若数列{an}满足
B. 6
*
C. 8 D. 9
-=d（n∈N，d为常数），则称数列{an}为调和数列．已知数列{}为调和数列，
且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
2
9. 设函数f（x）=x+2cosx，x∈[-1，1]，则不等式f（x-1）＞f（2x）的解集为（ ）
A. （-1，）
10. 设椭圆
B. [0，） C. （] D. [0，]
的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x的值为（ ）
轴上方部分交于M、N两点，则
A. B. C. D.
11. 已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，
则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（ ）
A. e B. C. D. 1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知数列{an}满足a1=1，前n项和未sn，且sn=2an（n≥2，n∈N*），则{an}的通项公式an=______． 14. 已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的表
面积为______．
15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分
割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18°，若a+b=4，则
2
=______．
16. 如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线
C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且=3，则双曲线的离心率为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足
．
（1）求A．
（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．
18. 棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出
正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn．
（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；
（2）证明：
（3）求P99，P100的值．
;
19. 如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面
的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4 （1）求证：B1O⊥平面AEO （2）求二面角B1-AE-O的余弦值．
20. 椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2-（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ=1，则||2+|值，若是求出定值；若不是，说明理由．
x21. 已知函数f（x）=ecosx-xsinx，g（x）=sinx-|2是否为定
．
ex，其中e为自然对数的底数．
（1）?x1∈[-，0]，?x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围； （2）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．
22. 在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为
（t为参数），以原点为极点，x轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ． （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．
23. 已知函数f（x）=|2x+1|+|x-4|．
（1）解不等式f（x）≤6；
2
（2）若不等式f（x）+|x-4|＜a-8a有解，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：i2020=i4×505=（i4）505=1． 故选：A．
直接利用虚数单位i的运算性质求解．
本题考查虚数单位i的运算性质，是基础的计算题． 2.【答案】B
【解析】解：由A中不等式变形得：log21=0＜log2x＜2=log24，即1＜x＜4， ∴A=（1，4），
x由B中y=3+2＞2，得到B=（2，+∞）， 则A∩B=（2，4）， 故选：B．
求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3.【答案】A
【解析】解：a=ln2＞ln∴a＞c＞b， 故选：A．
利用指数、对数函数的性质，判断a＞，b＜，利用定积分的性质求得c=，即可判断a、b和c的大小． 本题考查求定积的值及指数函数的性质，属于基础题． 4.【答案】C
【解析】解：∵0＜x＜1，∴log3x＜0＜x3＜1＜3x，
3x∴log3x＜x＜3， 故选：C．
利用指数函数与对数函数、幂函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.【答案】B
【解析】解：∵已知cos（-α）=2cos（π+α），即sin α=-2cosα，即tan α=-2． 又∵tan（α+β）=
=
=，则tanβ=7，
=，
=＜，
=
=
故选：B．
由题意利用诱导公式求得tanα的值，再利用两角和的正切公式，求得tanβ的值． 本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题． 6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考察学生的运算能力和转换能
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