2011年10月线性代数自考04184试题和参考答案

全国2011年10月自学考试线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。 A表示方

阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则?12A?( ) A.-1 B.?14 C.

14 D.1

x?2x?1x?22.设f(x)?2x?22x?12x?2,则方程f(x)?0的根的个数为（ ）

3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2

D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若A?B,则必有（A.A?0 B. A?B?0 C. A?0

D. A?B?0

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.(A?B)2?A2?2AB?B2 B.(A?B)(A?B)?A2?B2 C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E)

D.(AB)2?A2B2

?a1b1a1b2a1b3?5.设A???aab?2b12b2a?23?,其中ai?0,bi?0,i?1,2,3,则矩阵A的秩为（ ）?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1 C.2

D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ） A.0 B.2 C.3

D.4

7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（ ） A.-10

B.-4

） C.3 D.10

?x1?x2?x3?4?8.已知线性方程组?x1?ax2?x3?3无解，则数a=( )

?2x?2ax?42?1A.?C.

1 2B.0 D.1

1 229.设3阶方阵A的特征多项式为?E?A?(??2)(??3),则A?( )

A.-18 C.6

B.-6 D.18

10.若3阶实对称矩阵A?(aij)是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ） A.-1，-2，-3 C.-1，2，3

B.-1，-2，3 D.1，2，3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

3011.设行列式D?242,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.

253?212.设A??a??a?b?b?,B????,则AB?__________.

??a?a???bb??103???13.设A是4×3矩阵且r(A)?2,B??020?,则r(AB)?__________.

??103???14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.

15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.

?x1??x2?x3?0?16.设方程组??x1?x2?x3?0有非零解，且数??0,则??__________.

?x?x??x?03?1217.设4元线性方程组Ax?b的三个解α1，α2，α3，已知?1?(1,2,3,4),?2??3?(3,5,7,9),r(A)?3.则方程组的通解是__________.

18.设3阶方阵A的秩为2，且A?5A?0,则A的全部特征值为__________.

2TT 2

??211??1?????19.设矩阵A??0a0?有一个特征值??2,对应的特征向量为x??2?,则数a=__________.

??413??2?????20.设实二次型f(x1,x2,x3)?xTAx,已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.设矩阵A?(?,2?2,3?3),B?(?,?2,?3),其中?,?,?2,?3均为3维列向量，且A?18,B?2.求

A?B.

?11?1??01??1?1???????2?X??10???11?. 22.解矩阵方程?02?1?10??43??21???????23.设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，p+2）T，α4=（3，2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

?2x1??x2?x3?1?24.设3元线性方程组??x1?x2?x3?2,

?4x?5x?5x??123?1（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

225.已知2阶方阵A的特征值为?1?1及?2??,方阵B?A.

13（1）求B的特征值； （2）求B的行列式.

22226.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?12x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性变

换.

四、证明题(本题6分)

27.设A是3阶反对称矩阵，证明A?0.

3