2019-2020学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合??={??|??≥1}，??={??|??2????2<0}，则??∪??=( )
A. {??|??≥1}
C. {??|?1?1}
2. 设??∈??，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：???∈??，2??∈??，则( )
A. ￢??：???∈??，2??∈?? B. ￢??：??????，2??∈?? C. ￢??：???∈??，2????? D. ￢??：??????，2????? 3. 阅读如图所示的程序，则运行结果为( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 7
下列各函数中，最小值为2的是( ) 4.
A. ??=√??+√?? C. ??=√??2+2 ??2+31B. ??=????????+????????，??∈(0,2) D. ??=??+??
1
41
1??
5. 直线????+????+1=0(??,??>0)过点(?1,?1)，则??+??的最小值为( )
A. 10
B. 1
C. 4
D. 9
6. 若m，n是两条不同的直线，??，??，??是三个不同的平面， ①??//??，??⊥?????⊥?? ②??//??，?????，????????//??
③??//??，??//??，??⊥?????⊥?? ④若??∩??=??，??∩??=??，??//??，则??//?? 则以上说法中正确的有( )个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 函数??(??)=??????????+??在[???,??]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
第1页，共14页
8. 已知曲线??1：??=????????，??2：??=cos(2???3)，则下面结论正确的是( )
A. 把??1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
移3个单位长度，得到曲线??2
??
??
B. 把??1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
移3个单位长度，得到曲线??2
2??
C. 把??1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
??12
1
个单位长度，得到曲线??2
1
D. 把??1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右半移
??12
个单位长度，得到曲线??2
9. 已知函数??(??+1)的定义域是[1,2]，求函数??(??)的定义域( )
A. [2,3] B. [2,3] C. [0,1] D. (2,3] 10. 点(1,0)与(2,5)位于????+???1=0异侧，则m的范围是( )
A. (?2,1) B. (?1,2) C. (?1,+∞) D. (?∞,2)
? |2+ ，(??? ，? ? 满足??? |=1，则|??11. 设向量????，??? +? ??+??? =?0? ?? ??)⊥??? ，??? ⊥? ??，若|?? |2+|??
|?? |2=( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
12. 一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是( )
A. 4
1
B. 2
1
C. 8
1
D. 3
1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
? |=√10，则|??? |=______． 13. 已知向量??? ,? ??夹角为45°，且|?? |=1,|2?? ???
14. 向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968
粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)，由此可估计??的近似值为______.(保留四位有效数字)
15. 现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，
可以编为00，01，02，……，79，在随机数表中任选一个数，例如选出第6行第5
列的数7(下面摘取了附表1的第6行至第10行)。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
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规定从选定的数7开始向右读，依次得到的样本为 ____________．
且当??≥0时，??(??)=??2，若对任意的??∈[??,??+2]，16. 设??(??)是定义在R上的奇函数，
不等式??(??+??)≥2??(??)恒成立，则实数t的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 记数列{????}的前n项和为????，已知点(??,????)在函数??(??)=??2+2??的图象上．
(??)求数列{????}的通项公式； (Ⅱ)设????=??
2
??????+1
，求数列{????}的前n项和．
其中成绩分组区间18. 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，
是：[50,60),[60,70)，[70,80),[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(??)与数学成绩相应分数段的人数(??)之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数． 分数段 x：y
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[50,60) 1：1 [60,70) 2：1 [70,80) 3：4 [80,90) 4：5
19. 设??(??)=??????2???2??????2(??+6)+1．
(1)求??(??)的单调增区间；
B，C的对边分别为a，b，c，(2)在锐角△??????中角A，??=1，若??(2)=1，求△??????面积的最大值．
D，E分别是AC，20. 如图，在三棱柱?????????1??1??1中，
????1的中点．
(1)证明：????//平面??????1；
(2)若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角???????1???的余弦值．
21. 如图，在直角坐标系xOy中，圆O：??2+??2=4与x
轴负半轴交于点A，过点A的直线AM、AN分别与圆O交于M、N两点．
(1)若??????=2，??????=?2，求△??????的面积； (2)若直线MN过点(1,0)，证明：?????????????为定值，并求此定值．
1
??
??
第4页，共14页
22. 设??(??1,??1)，??(??2,??2)是函数??(??)=??????1的图象上任意两点，若M为A，B的中
点，且M的横坐标为1． (1)求??1+??2；
(2)若????=2[??(2??)+??(2??)+??(2??)+?+??((3)已知数列{????}的通项公式????=
??+12??1
1
3
5
4???12??
1
)]，??∈???，求????；
(??≥1,??∈???)，数列{????}的前n项和为????，
若不等式2???????
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算． 可解出集合B，然后进行并集的运算即可． 【解答】
解：??={??|?1?1}． 故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”， ∴命题p：???∈??，2??∈??的否定是： ￢??：???∈??，2?????． 故选C．
“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．
本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”． 3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了伪代码表示的程序运行问题，是基础题． 阅读如图所示的程序，计算x、y的值，并输出y．
【解析】
解：阅读如图所示的程序知，
该程序运行结果为计算??=2×2?1=3， ??=3+2=5； 输出??=5． 故选：C． 4.【答案】A
【解析】解：对于??.∵√??>0，∴??=√??+1√≥2√√????1√??当且仅当??=1时取等号． =2，
因为只有一个正确，故选A．
利用基本不等式的性质即可得出．
熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键． 5.【答案】D
【解析】解：将点(?1,?1)代入直线得??+??=1， 则??+??=(??+??)(??+??)=1+4+??+
1
4
1
4
??
4????
≥5+2√4=9，当仅当??=3，??=3时取等，
12
第6页，共14页
故选：D．
由条件可得??+??=1，则可将原式表示为??+??=(??+??)(??+??)，再结合基本不等式即可求出最值．
本题考查基本不等式及其应用，给原式乘上(??+??)是关键，属于中档题． 6.【答案】B
1
4
1
4
【解析】解：由m，n是两条不同的直线，??，??，??是三个不同的平面，知： 在①中，??//??，??⊥??，由线面垂直的判定定理得??⊥??，故①正确； 在②中，??//??，?????，?????，则m与n平行或异面，故②错误；
在③中，??//??，??//??，??⊥??，由线面垂直的判定定理得??⊥??，故③正确； 在④中，若??∩??=??，??∩??=??，??//??，则??与??相交或平行，故④错误． 故选：B．
在①中，由线面垂直的判定定理得??⊥??；在②中，m与n平行或异面；在③中，由线面垂直的判定定理得??⊥??；在④中，??与??相交或平行．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7.【答案】A
【解析】解：∵??(???)=?????????(???)???=??????????????=???(??)， 故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C，
令函数??(??)=??????????+??=0，则??=0，或??=±??， 故函数有三个零点，排除D， 由??(2)=2>0，排除B， 故选：A．
分析函数的奇偶性，零点个数及??(2)的符号，利用排除法，可得答案．
本题考查的知识点是函数的图象，利用排除法，是解答此类问题最常用的方法． 8.【答案】C
??
??
??
【解析】解：已知曲线??1：??=????????=cos(???2)，??2：??=cos(2???3)，
∴把??1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，可得??=cos(2???2)的图象， 再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线??2：cos(2??+6?2)=cos(2???3)的图象， 故选：C．
由题意利用诱导公式、函数??=????????(????+??)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数??=????????(????+??)的图象变换规律，属于基础题． 9.【答案】B
??
??
??
??
1
??
??
??
【解析】解：∵??(??+1)的定义域是[1,2]， ∴1≤??≤2，得2≤??+1≤3， 即??(??)的定义域为[2,3]， 故选：B．
根据复合函数定义域之间的关系进行转化求解即可．
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本题主要考查函数定义域的求解，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键． 10.【答案】A
【解析】解：若两点??(1,0)，??(2,5)在直线???????+1=0的异侧， 则(??+0?1)(2??+5?1)<0， 即2(??+2)(???1)<0， 得：?2
即实数m的取值范围是(?2,1)， 故选：A．
根据点在直线的异侧，等价为对应因式之积小于0，解不等式即可
本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，转化为不等式是解决本题的关键，属于基础题．
11.【答案】B
? ,|??【解析】解：∵?? ⊥?? |=1， ? =(0,??),?? ， ∴设?? =(1,0),?? =(??,??)，且??? +? ??+??? =?0
∴(??+1,??+??)=(0,0)， ∴??=?1，??=???，
? =(1,???)，(??? )⊥??∴?? =(?1,???)，且?? ???? ???? ，
? )???∴(?? ??? =?1+??2=0，
∴??2=1，
? |2+|??∴|?? |2+|?? |2=1+??2+1+??2=4．
故选：B．
? ,|??? =(0,??),?? 即可得出根据?? ⊥?? |=1可设?? =(1,0),?? =(??,??)，再根据??? +? ??+??? =?0
??=?1，??=???，即得出?? =(?1,???)，再根据(??? ?? ??)⊥??? 即可得出??2=1，从而可求出答案．
本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量数量积、加法和减法的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于中档题． 12.【答案】A
【解析】解：设三段长分别为x，y，1??????， 0
则总样本空间为{0
0
??+??>1??????
能构成三角形的事件的空间为{??+1??????>??，
??+1??????>??其面积为8，
则这三段可以组成三角形的概率是??=
1812
1
1
=4．
1
故选：A．
先设绳子其中两段的长度分别为x、y，分别表示出绳子随机地折成3段的x，y的约束条件和3段构成三角形的约束条件，再画出约束条件表示的平面区域，利用面积测度即可求出构成三角形的概率．
本题主要考查了几何概型，考查三角形中的边角关系，考查运算求解能力，是中档题．
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13.【答案】3√2
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的数量积定义的应用，属于基础题． 根据向量的数量积性质|?? |=√(?? )2是求解向量的模常用的方法， 【解答】 解：
? |=1， ，|??
? =|??? |??????45°=√2|??? |， ∴?? ??? ||??2
? |=√(2??? )2 ∴|2?? ??? ???
? +??? 2=√4?2√2|??? |+|??? |2 =√4?? 2?4?? ???
=√10，
解得|? ??|=3√2． 故答案为：3√2． 14.【答案】3.149
【解析】解：满足条件的边长为2正方形ABCD中落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)， 则正方形的面积??正方形=4， 阴影部分的面积4，
故落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)的概率??=
??4??
4
??
=16，
随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)的频率为：10000， 即有：??=16=10000，解得：??=3.1488；
故答案为：3.149
根据已知条件求出满足条件的正方形ABCD的面积，及顶点A的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)的面积比值等于频率即可求出答案
几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”??(??)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据??=
??(??)??
??
1968
1968
求解．考查频率约等于概率，属于基础题．
15.【答案】77，39，49，54，43，17
【解析】解：找到第6行第5列的数开始向右读， 第一个符合条件的是77，
第二个数是94，因为它大于80，舍去． 第三个数是39， 第四个数是49， 第五个数是54，
第9页，共14页
第六个数是43．
第七个数是54，重复，舍去．
第八个数是82，因为它大于80，舍去． 第九个数是17．
故答案为：77，39，49，54，43，17．
找到第6行第5列的数开始向右读，第一个符合条件的是77，第二个数是94(舍)，三个数是39，第四个数是49，第五个数是54，第五个数是82(舍)，直至取满6个数． 本题考查了简单随机抽样中的随机数表法，抽取时要注意超出编号的以及重复的要舍去，本题属基础题．
16.【答案】[√2,+∞)
【解析】解：当??≥0时，??(??)=??2 ∵函数是奇函数
∴当??<0时，??(??)=???2
2??≥0， ∴??(??)={????2
??????<0
∴??(??)在R上是单调递增函数，
且满足2??(??)=??(√2??)，
∵不等式??(??+??)≥2??(??)=??(√2??)在[??,??+2]恒成立， ∴??+??≥√2??在[??,??+2]恒成立， 即：??≤(1+√2)??在[??,??+2]恒成立，
∴??+2≤(1+√2)??
解得：??≥√2，
故答案为：[√2,+∞)．
由当??≥0时，??(??)=??2，函数是奇函数，可得当??<0时，??(??)=???2，从而??(??)在R上是单调递增函数，且满足2??(??)=??(√2??)，再根据不等式??(??+??)≥2??(??)=??(√2??)在[??,??+2]恒成立，可得??+??≥√2??在[??,??+2]恒成立，即可得出答案．
本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．
17.【答案】解：(Ⅰ)由题意点(??,????)在函数??(??)=??2+2??的图象上， 知????=??2+2??．
当??≥2时，????=??????????1=2??+1； 当??=1时，??1=??1=3，适合上式． 所以：????=2??+1． (Ⅱ)∵????=??
2
??????+1
=(2??+1)(2??+3)=2??+1?2??+3，
1
1
1
1
1
1
211
则??1+??2+?+????=3?5+5?7+?2??+1?2??+3
=
=6??+9．
2??
11
?
32??+3
【解析】(??)利用已知条件结合??≥2时，????=??????????1，求解数列的通项公式即可． (Ⅱ)化简????=??
2
??????+1
，利用裂项相消法求解数列的和即可．
本题考查数列与函数的综合，数列的通项公式以及数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．
第10页，共14页
18.【答案】解：(1)依题意得，10(2??+0.02+0.03+0.04)=1，解得??=0.005；
(2)这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分)；
(3)数学成绩在[50,60)的人数为：100×0.05=5， 数学成绩在[60,70)的人数为：100×0.4×2=20， 数学成绩在[70,80)的人数为：100×0.3×3=40， 数学成绩在[80,90)的人数为：100×0.2×4=25，
所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100?5?20?40?25=10．
541
【解析】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．
(1)由频率分布直方图的性质可10(2??+0.02+0.03+0.04)=1，解方程即可得到a的值；
(2)由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；
(3)按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50,90)之外的人数．
19.【答案】解：(1)??(??)=??????2???2??????2(??+6)+1=??????2?????????2(??+6)=??????2???
cos(2??+)
3??
????
=??????2???2??????2??+
??
1
√3??????2??2??
=2??????2??+
??
1
√3??????2??2
=sin(2??+6)，
??
则由2?????2≤2??+6≤2????+2，??∈??，
得?????3≤??≤????+6，??∈??，即函数的单调递增区间为[?????3,????+6]，??∈??． (2)若??(2)=1，则sin(2×2+6)=sin(??+6)=1， ∵??是锐角，∴??+6=2，得??=3． ∵??=1，
∴由余弦定理得??2=??2+??2?2????????????， 即1=??2+??2?????≥2?????????=????， ∴????≤1，
当且仅当??=??时取等号，
则三角形的面积??=????????????≤×1×√=√，
2224即三角形面积的最大值为√．
431
1
33??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
【解析】(1)利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进
行求解即可．
第11页，共14页
(2)根据锐角三角形中的条件??(2)=1，先求出A，然后利用余弦定理以及基本不等式求出bc的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，利用辅助角公式进行化简，以及利用余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式进行转化是解决本题的关键． 20.【答案】(1)证明：取????1的中点为F，连接DF，EF．
??
∵??，F分别为AC，????1的中点， ∴????//????1，且????=2????1． ∵??为????1的中点， ∴????//????1且????=????1，
211
∴????//????且????=????，
∴四边形BEFD为平行四边形， ∴????//????．
∵?????平面??????1，?????平面??????1， ∴????//平面??????1．
(2)解：设BC的中点为O，连接AO， ∵△??????为等边三角形，∴????⊥????， ∵侧面都是正方形，
∴????1⊥????，????1⊥????，
∵????，?????平面ABC且????∩????=??， ∴????1⊥平面ABC， ∵?????平面ABC， ∴????⊥????1， ∵????∩????1=??， ∴????⊥平面????1??1C.
取??1??1中点为??1，连接????1，则????1⊥????．
以O为原点，OB、????1、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系?????????，如图． 设????=2，则??(0,0,√3),??(1,1,0),??1(?1,2,0)， ????? ??????? ∴??????1=(?2,1,0),????1=(?1,2,?√3)．
??? =(??,??,??)， 设平面??????1的法向量为??
??????? ??? ???????1=?2??+??=0,则{ ?????? ??? ????????=???+2???3??=0,√1
令??=1，得????? =(1,2,√3)，
? =(0,0,1)． 取平面??????1的法向量为??则
故所求二面角的余弦值为√．
46，
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【解析】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．属于中档题．
(1)取????1的中点为F，连接DF，????.证明四边形BEFD为平行四边形，得到????//????.然后证明????//平面??????1．
(2)设BC的中点为O，连接AO，以O为原点，OB、????1、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系?????????，求出平面??????1的法向量，平面??????1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
21.【答案】解：(1)根据题意，圆O：??2+??2=4的圆心为(0,0)，半径为2，??(?2,0)， 若??????=2，则直线AM的方程为???0=2(??+2)，即??=2??+4，
??????=?，直线AN的方程为???0=?(??+2)，即??=
22????1，
21
1
1
由题知?????????????=?1，所以????⊥????，MN为圆O的直径， 所以圆心到直线AM的距离??=
√=1+4|4|4√5
，则????5
=2×√??2???2=
4√5
， 5
85
又由中位线定理知，????=2??，即????=√，
5
11458516
则△??????的面积??=×????×????=×√×√=；
2
2
5
5
5
(2)证明：设??(??1,??1)、??(??2,??2)，
①当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为??=??(???1)(??≠0)，
代入圆的方程中有：??2+??2(???1)2?4=0，整理得：(1+??2)??2?2??2??+??2?4=0， 则有??1+??2=，??1??2=，
1+??21+??2此时?????????????=??
??1
1+2
2??2??2?4
×
??2??2+2
=
??1??2(??1+2)(??2+2)
=
??2(??1?1)(??2?1)(??1+2)(??2+2)
=??2×
??1??2?(??1+??2)+1??1??2+2(??1+??2
=?， )+43
1
②当直线MN斜率不存在时，直线MN的方程为??=1，
代入圆的方程可得??(1,√3)，??(1,?√3)； 此时?????????????=
?√3?0√3?0×1?(?2)1?(?2)
=?，
3
1
1
综合可得：?????????????为定值，且此定值为?3．
【解析】(1)由题意可得????⊥????，MN为圆O的直径，分别求得AN，AM的方程，运
用点到直线的距离公式和弦长公式，可得AM，AN，再由直角三角形的面积公式可得所求；
(2)设??(??1,??1)、??(??2,??2)，①当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为??=??(???1)(??≠0)，
代入圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得定值；②当直线MN斜率不存在时，直线MN的方程为??=1，代入圆方程，求得M，N的坐标，由斜率公式计算即可得到所求定值，即可得答案．
本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，以及弦长公式的运用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由已知点M为线段AB的中点，则：??1+??2=2，
第13页，共14页
∴??1+??2=(??1???
1
1
)+(??2????1
1
2
)=??1+??2?(???1
1
1
+???1
1
2?1
)=2．
(2)由(1)，当??1+??2=2时，有??(??1)+??(??2)=2， 故??(2??)+??(
11
4???12??
)=2,??(2??)+??(
3
5
34???32??
)=2,…
4???12??
由????=2[??(2??)+??(2??)+??(2??)+?+??(????=2[??(
11
4???12??1
1
)]，
1
)+??(
4???32??
)+??(
4???52??3
)+?+??(2??)]，
2???3??
2????=2{[??(??)+??(2??，
∴????=??．
2???1??
)]+[??(??)+??(
)]+?+[??(
2???1??
)+??(??)]}=2×2??×2=
11
(3)由已知：????=1+22+23+?+
123
34??+12??
，
1
1
1
??+1
1
1
??+1
????=
1
222
+
323
+?+
??2??
+
??+12??+1
，2????=1+22+23+?+2???2??+1=2+1?2???2??+1=
1
?2???2??+1， 2
∴????=3?
??+32????+1
．
不等式2???????3???8，即???3>故只需???3>(令????=
3???82??3???82??3???82??恒成立，
)??????．
，
3???82??
当??≥2时，??????????1=
?
3???112???1
=
3???8?6??+22
2??
=
14?3??2??
，
当??≤4时，??????????1>0，当??≥5时，??????????1<0， 故??1??5>??6>?， 故(????)??????=??4=4， ∴???3>，解得：??>
4
1
134
1
．
【解析】(1)利用中点坐标公式即可得出；
(2)由(1)，当??1+??2=2时，有??(??1)+??(??2)=2，利用此结论可得????． (3)利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出????.不等式2???????
3???82??
恒成立，故只需???3>(
3???82??
)??????.令????=
3???82??
，研究其单调
性即可得出．
本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、中点坐标公式、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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