北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试文科数学（含答案）

所以 m?8. ??????5分 （Ⅱ）解：若直线l的斜率不存在，则有 S1?S2，不合题意. ??????6分

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?2)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

?x2y2??1, 由 ??1612??y?k(x?2),得 (4k2?3)x2?16k2x?16k2?48?0， ?????? 7分

16k2?4816k2 可知 ??0恒成立，且 x1?x2?2，x1x2?. ?????? 8分 24k?34k?311 因为?PMF和?PNF的面积分别为S1?|PF|?|y1|，S2?|PF|?|y2|,

22 所以

S1|y1|y???1?2. ?????? 9分 S2|y2|y2 即 y1??2y2.

2 所以 y1?y2??y2，y1y2??2y2??2(y1?y2)2， ?????? 11分

则 k(x1?2)?k(x2?2)??2[k(x1?2)?k(x2?2)]2， 即 x1x2?2(x1?x2)?4??2(x1?x2?4)2，

16k2?4816k216k2 即 ?2?2?4??2(2?4)2， 24k?34k?34k?35 解得 k??. ?????? 13分

255 所以直线l的方程为 y?(x?2) 或 y??(x?2). ?????? 14分

22 20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：结论：当a??1,b?0时,函数f(x)和g(x)不相切. ???????1分 理由如下：

由条件知f(x)??x2， 由g(x)?lnx，得x?0，

又因为 f?(x)??2x，g?(x)?1， ???????2分 x 所以当x?0时，f?(x)??2x?0，g?(x)?1?0，

x 所以对于任意的x?0，f?(x)?g?(x).

当a??1,b?0时,函数f(x)和g(x)不相切. ???????3分 （Ⅱ）解：若a?b，则f?(x)?2ax?a，g?(x)?设切点坐标为(s,t) ，其中s?0,

由题意，得 as2?as?lns， ① 2as?a? 由②，得 a?1， x1， ② ???????4分 s1，

s(2s?1)s?1 代入①，得 ?lns. （*） ???????5分

2s?11?0，且s?0， 因为 a?s(2s?1) 所以 s?1. 2x?11?lnx，x?(,??)， 2x?12?(4x?1)(x?1) 则 F?(x)?. ???????6分 2x(2x?1)1 令F?(x)?0 ，解得x?1或x?(舍). ???????7分

4 设函数 F(x)? 当x变化时，F?(x)与F(x)的变化情况如下表所示，

x F?(x) 1(,1) 21 0 (1,??) ? ↗ ? ↘ F(x) ???????8分

1 所以当x?1时，F(x)取到最大值F(1)?0，且当x?(,1)(1,??)时F(x)?0.

2 因此，当且仅当x?1时F(x)?0. 所以方程（*）有且仅有一解s?1. 于是 t?lns?0，

因此切点P的坐标为(1,0). ???????9分 （Ⅲ）解：当点P的坐标为(,?1)时，存在符合条件的函数f(x)和g(x)，使得它们在点P 处相切； ???????11分

2 当点P的坐标为(e,2)时，不存在符合条件的函数f(x)和g(x)，使得它们在点P处相

1e 切. ???????13分