最值综合题(几何)-全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版)

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2019全国各地中考数学压轴大题几何综合

七、最值综合题

1.（2019?绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．

（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示： 过点C作CF⊥AE于F，S1＝AB?BC＝6×5＝30； ②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：

过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H， 则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形， ∵∠C＝135°， ∴∠FCH＝45°，

∴△CHF为等腰直角三角形，

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∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH， ∴BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1， ∴AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5， ∴S2＝AE?AG＝6×5＝30； （2）能；理由如下：

在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G， 则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形， ∵∠C＝135°， ∴∠FCG＝45°，

∴△CGF为等腰直角三角形， ∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG， 设AM＝x，则BM＝6﹣x，

∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，

∴S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x＝﹣（x﹣5.5）2+30.25， ∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．

2.（2019?绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边

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BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF． （1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值． （2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．

（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．

解：（1）如图1中，

作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O． ∵四边形ABCD是正方形， ∴FH＝AB，MQ＝BC， ∵AB＝CB， ∴FH＝MQ， ∵EF⊥MN， ∴∠EON＝90°， ∵∠ECN＝90°，

∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°

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