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∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，
∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．
5.（2019?巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M． ①求证：DC是⊙O的切线．
②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．
③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．
解：①过点O作OG⊥CD，垂足为G，
在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，
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∵OH⊥BC，OG⊥CD， ∴OH＝OG，
∴OH、OG都为圆的半径，即DC是⊙O的切线； ②∵AC＝4MC且AC＝8， ∴OC＝2MC＝4， MC＝OM＝2， ∴OH＝2，
在直角三角形OHC中，HO＝CO，
∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°， ∴HC＝
，
S阴影＝S△OCH﹣S扇形OHM＝CH?OH﹣OH2＝2﹣；
③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P， ∵PM＝NP，
∴PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小， ∵ON＝OM＝OH， ∠MOH＝60°， ∴∠MNH＝30°， ∴∠MNH＝∠HCM，
∴HN=HC=2，
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即：PH+PM的最小值为2，
∴PD=OP+OD=2
6.（2019?河北）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心． （1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）
∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x
当AD⊥BC时，APAB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值． （3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
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∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α， ∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA ∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA） ＝180°（∠PAC+∠PCA） ＝180°（90°﹣α+60°） α+105° ∵0＜α＜90°，
∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°， ∴m＝105，n＝150．
7.（2019?广州）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．
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（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形 ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上 ∴∠DFC＝∠C＝60° ∴∠DFC＝∠A ∴DF∥AB； （2）存在，
过点D作DM⊥AB交AB于点M， ∵AB＝BC＝6，BD＝4， ∴CD＝2
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