东北育才数学理科答案(教师版)

券中奖的概率为

1，中奖后电信公司返还顾客现金1000元，小李购买一台价格24005元的手机，只能得2张奖券，于是小李补偿50元给同事购买一台价格600元的小灵通（可以得到三张奖券），小李抽奖后实际支出为X（元）. （Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）试说明小李出资50元增加1张奖券是否划算。 解：（Ⅰ）X的所有可能取值为2450,1450,450，－550 ,

6448?4?11?4?， P(X?1450, P(X?2450)????)?C3?????5?5?125?5?1251?1?4123?1?,P(X??550)?C3 , P(X?450)?C32?????????551255125????故其分布列为： X P[来源:学+科+网Z+X+X+K] （II）E(X)?2450?2450 1450 450 233264 12548 12512 125?550 1 1256448121?1450??450??(?550)?＝1850（元） 125125125125设小李不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为X1（元），则

816?4?114，P(X1?1400)?C2???， P(X1?2400)????551255125??21?1?， P(X1?400)?C???25?5?222∴E(X1)?2400?∴E(X)?E(X1)

1681?1400??400??2000（元） 125125125故小王出资50元增加1张奖券划算。

19．（本小题满分12分）

?如图，四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，?ADC??DCB?90,AD?1，

BC?3，PC?CD?2,PC?平面ABCD

高三年级数学（理科）试卷 第 5 页 共 11 页

（Ⅰ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PDE?平面PAC，并说明理由； （Ⅱ）求二面角D?PA?B的余弦值．

P 答案：（Ⅰ）E是AB中点 ??6分

534（Ⅱ）? ??12分

34

20．（本小题满分12分）

C D

A

E

B

平面内，与两点A1(?2,0)、A2(2,0)连线的斜率之积等于常数m（m?0）的动点B

C. 的轨迹，连同A1，A2两点所构成的曲线记为

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系； （Ⅱ）当m??3时，过点F(1,0)且斜率为k（k?0）的直线l1交曲线C于M、N 4两点，若弦MN的中点为P，过点P作直线l2交x轴于点Q，且满足MN?PQ?0， 试求

|PQ|的取值范围． |MN|yy??m x?2x?2解：（Ⅰ）设动点B(x,y)，由条件知

22即mx?y?4m(x??2) ……………………1分 又点A1(?2,0)、A2(2,0)在曲线C上

∴曲线C的方程为mx?y?4m ……………………2分 当m??1时，曲线C为圆x?y?4；

2222x2y2??1； 当?1?m?0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆

4?4mx2y2??1.…………4分 当m??1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆

4?4m高三年级数学（理科）试卷 第 6 页 共 11 页

3x2y2??1 （Ⅱ）当m??时，曲线C为椭圆

443 直线l1的方程为y?k(x?1)

?3x2?4y2?12 由?得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0

?y?k(x?1)8k24k2?12 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1?x2?，x1x2?………6分

3?4k23?4k24k2?3k,) ∴弦MN的中点P(3?4k23?4k2 且|MN|?1?k ?1?k2(x1?x2)2?4x1x2 28k224k2?12 ()?4?223?4k3?4k12(1?k2) ? …………………………………………8分

3?4k23k14k2??(x?) 直线l2的方程为y?3?4k2k3?4k2k2k2,0) 由y?0得x?，则Q(3?4k23?4k23k2(1?k2) ∴|PQ|? ………………………………………9分

3?4k23k2(1?k2)2|PQ|1k2113?4k???1? ∴……………………10分

12(1?k2)41?k241?k2|MN|3?4k2 ∵1?k?1，∴0?21111?1，∴ 0?1??21?k241?k4∴

1|PQ|的取值范围是∴(0,). ………………………………12分

4|MN|高三年级数学（理科）试卷 第 7 页 共 11 页

21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?lnx1的图象为曲线C, 函数g(x)?ax?b的图象为直线l. x2(Ⅰ) 当a?2,b??3时, 求F(x)?f(x)?g(x)的最大值;

(Ⅱ) 设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1,x2, 且x1?x2, 求证:

(x1?x2)g(x1?x2)?2.

解：(Ⅰ) ?a?2,b??3?F(x)?lnx?x?3 x1?lnx1?lnx?x2?1??0?x?1 F?(x)?x2x2 x?(0,1),F?(x)?0,F?(x)单调递增， x?(1,??),F?(x)?0,F?(x)单调递减，

F(x)max?F(1)?2

(Ⅱ)不妨设x1?x2，要证(x1?x2)g(x1?x2)?2 只需证(x1?x2)?a(x1?x2)?b??2

?1?2??

2(x2?x1)1122 a(x1?x2)?b??a(x2?x12)?b(x2?x1)?2x1?x22x1?x2

2(x2?x1)121 ax2?bx2?(ax12?bx1)?22x1?x2?lnx11lnx21?ax1?b??ax2?b x12x222(x2?x1)x2(x2?x1)，即ln2?

x1x2?x1x2?x1lnx2?lnx1?(x2?x1)lnx2?2(x2?x1) x1高三年级数学（理科）试卷 第 8 页 共 11 页