2020年中考数学复习——圆 练习题

16． 如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．

（1）若∠BAC=60°， ①求证：OD?1OA． 2②当OA=1时，求△ABC面积的最大值．

OE=OD，（2）点E在线段OA上，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2=0．

17． 如图1，AB=AC，在△ABC中，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=

∠ACB交

⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF．

（1）求证：ED=EC；

（2）求证：AF是⊙O的切线；

（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BG的长．

18． 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于

点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F． （1）求证：直线DF是⊙O的切线； （2）求证：BC2=4CF·AC；

（3）若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．

答案

1． D 2． B 3． B 4． D 5． C 6． A 7． B

8． 9． C 10． 4π 11． 38° 12． π-1 13． 52° 14． 120° 15． 26

16． （1）①如图1，连接OB、OC，

1∠BOC=∠BAC=60°， 211∴∠OBC=30°，∴OD?OB?OA；

22则∠BOD?②∵BC长度为定值，

∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大， 当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD?△ABC面积的最大值?3， 211333?BC×AD??2OBsin60°??； 2224（2）如图2，连接OC，

设：∠OED=x，

则∠ABC=mx，∠ACB=nx，

则∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣mx﹣nx?∵∠AOC=2∠ABC=2mx，

∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°﹣mx﹣nx+2mx=180°+mx﹣nx， ∵OE=OD，∴∠AOD=180°﹣2x， 即：180°+mx﹣nx=180°﹣2x， 化简得：m﹣n+2=0． 17． （1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

又∵∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC， ∴∠BCD=∠ADC， ∴ED=EC．

（2）如图1，连接OA，

1∠BOC=∠DOC， 2

∵AB=AC， ∴?AB??AC， ∴OA⊥BC， ∵CA=CF， ∴∠CAF=∠CFA，

∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF， ∵∠ACB=∠BCD， ∴∠ACD=2∠ACB， ∴∠CAF=∠ACB， ∴AF∥BC， ∴OA⊥AF， ∴AF为⊙O的切线．

（3）∵∠ABE=∠CBA，∠BAD=∠BCD=∠ACB， ∴△ABE∽△CBA， ∴

ABBE?， BCAB∴AB2=BC·BE， ∴BC·BE=25， ∴AB=5，

如图2，连接AG，