2020年湘潭大学560概率论考研复试核心题库之证明题精编
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一、2020年湘潭大学560概率论考研复试核心题库之证明题精编
1． 设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布,试证明青岛掌р心博??阅电子书
【答案】因X与Y独立同分布，故
2． 设随机变量X服从指数分布，即X的密度函数为P(X>s+t|X>s)=P(X>t).
【答案】
3． 验收某种发电机组时，规定需要进行多次启动，要求连续启动成功2次才能接收。设各次启动试验的结果是相互独立的，且各次启动试验成功的概率为p，以X表示被接收之前需进行的启动试验的次数，记X的概率分布为
证明：当
时，
【答案】由于事件{X>k-3}表示在启动试验的次数k-3中没有连续启动成功2次(记为{Y=k-3})，故
当k≥5时，次，故
4． 如果n个事件
(1)将其中任何(2)
相互独立，证明：青岛掌?心博阅电子书
个事件改为相应的对立事件，形成的新的n个事件仍然相互独立；
. 改为
，对于任意k个事件
，
，
表示第k-1，k次启动成功，第k-2次启动不成功，且k-3中没有连续启动成功2
’证明:对于任意的s>0，t>0,有
(1)利用数学归纳法证明.对于m=1，【答案】不妨设将如果=1，有
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如果所以
，根据相互独立的定义有
相互独立.
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.
假设对m个事件改为相应的对立事件后，形成新的n个事件相互独立，要证明对(m+1)个事件改为相应的对立事件后，形成的n个事件也相互独立.
注意到，如果先将上述(m+1)个事件的某一个改为对立事件.利用上面的结论，得到的新的n个事件相互独立，再将其余的m个事件改为对立事件，利用假设知所形成的新的n个事件相互独立，即将(m+1)个事件改为相应的对立事件，形成的新的n个事件仍然相互独立.
(2)如果n个事件
相互独立，则有
5． 设A,B为随机事件，P(B)>0,证明:
【答案】右边 6． 设
是来自正态总体X的简单随机样本，
，证明统计量Z服从自由度
为2的t分布.
【答案】由抽样定理，恰为由于
，故
，故
由于方差，
与
与
相互独立，于是
独立，故与
与
独立.而
与
相互独立，且
，
故即有
， .
. 分别为
的样本均值与样本
的样本方差，故青岛掌р心博阅电子书
且相互独立，注意到
左
。
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7． 设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为
试证明此链具有遍历性，并求其平稳分布。 【答案】(1)因为
即存在m=2，使得m步转移概率中每一项都大于0，因此该马氏链具有遍历性。 (2)设平稳分布为
，则有
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及计算可得 8． 设
，表达形式不唯一。
相互独立且服从
.证明
.由
服从F(1，2)分布. 相互独立且服从
，得
【答案】由于于是
，
又由于分布的构造，得
9． 设X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
【答案】因X与Y独立，且X与Y的分布律分别为
则随机变量Z=X+Y的分布律为
10．设
是来自正态总体X的简单随机样本，
证明统计量Z服从自由度为2的t分布. 【答案】设
，则
又
是独立，且
的样本均值，S是
的样本方差，由正态总体的性质，知S与
独立，从而与
且与
独立，得
且与
相互独立.利用F
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