平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：uABuur或ra。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|uuuABr|或|ra|。
3.单位向量：长度为1的向量。若re是单位向量，则|re|?1。
4.零向量：长度为0的向量。记作：r0。【r0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。uABuur??uBAuur。
8.三角形法则： uABuur?uBCuur?uACuur；uABuur?uBCuur?uCDuur?uDEuur?uAEuur；uABuur?uACuur?uCBuur（指向被减数） 9.平行四边形法则：
以ra,br为临边的平行四边形的两条对角线分别为ra?rb，ra?br。
10.共线定理：ra??br?ra//br。当??0时，ra与rb同向；当??0时，ra与rb反向。11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若ra?(x,y)，则|ra|?x2?y2，ra2?|ra|2，|ra?br|?(ra?br)2 13.数量积与夹角公式：rrra?br?|ra|?|br|cos?； cos??a?b|ra|?|rb|
14.平行与垂直：ra//rb?ra??rb?xrrrr1y2?x2y1；a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是uABuur?uCDuur。
（5）若uABuur?uCDuur，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若ra与rb共线， rb与rc共线，则ra与rc共线。
（8）若mar?mbr，则ra?rb。
1
（9）若mar?nar，则m?n。
（10）若ra与rb不共线，则ra与rb都不是零向量。 （11）若ra?br?|ra|?|br|，则ra//rb。 （12）若|ra?rb|?|ra?rb|，则ra?rb。
题型2.向量的加减运算 1.设ra表示“向东走8km”, rb表示“向北走6km”,则|ra?rb|? 。
2.化简(uABuur?uMBuur)?(uBOuur?uBCuur)?uOMuuur? 。
3.已知|uOAuur|?5,|uOBuur|?3,则|uuuABr|的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知uACuur为uABuur与uADuur的和向量，且uACuur?ra,uBDuur?br，则uABuur? ，uADuur? 。5.已知点C在线段AB上，且uACuur?3u5ABuur,则uACuur? uuuBCr，uABuur? uuuBCr。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1）3(ra?rb)?2(ra?rb)? （2）2(2ra?5rb?3cr)?3(?2ra?3br?2cr)? 2.已知ar?(1,?4),br?(?3,8)，则3ar?1r2b? 。
题型4.作图法球向量的和
已知向量ra,br，如下图，请做出向量3ra?1r2b和2ra?3r2b。
ra rb
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在?ABC中，D是BC的中点，请用向量uABuur，uACuur表示uADuur。 2.在平行四边形ABCD中，已知uACuur?ar,uBDuur?br，求uABuur和uADuur。
题型6.向量的坐标运算
1.已知uABuur?(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是 。
2.已知uPQuur?(?3,?5)，P(3,7)，则点Q的坐标是 。
3.若物体受三个力Frr?2,3),Fr1?(1,2),F2?(3?(?1,?4),则合力的坐标为 。
2
rrrrrrrr4.已知a?(?3,4)，b?(5,2)，求a?b，a?b，3a?2b。
uuurr5.已知A(1,2),B(3,2),向量a?(x?2,x?3y?2)与AB相等，求x,y的值。 uuuruuuruuuruuur6.已知AB?(2,3)，BC?(m,n)，CD?(?1,4)，则DA? 。
uuuruuurruuur7.已知O是坐标原点，A(2,?1),B(?4,8)，且AB?3BC?0，求OC的坐标。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
uruur1.已知e1,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
uruururuururuuruurururuuruururuuruururA.e1?e2和e1?e2 B.3e1?2e2和4e2?6e1 C.e1?3e2和e2?3e1 D.e2和e2?e1
rr2.已知a?(3,4)，能与a构成基底的是（ ）
3443344A.(,) B.(,) C.(?,?) D.(?1,?)
5555553题型8.结合三角函数求向量坐标
uuuruuuro1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|?2，?xOA?150，求OA的坐标。
uuuruuuro2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|?43，?xOA?60，求OA的坐标。
题型9.求数量积
rrrrrrrrro1.已知|a|?3,|b|?4，且a与b的夹角为60，求（1）a?b，（2）a?(a?b)，
rrrrr1rr(2a?b)?(a?3b)。 （3）(a?b)?b，（4）
2
rrrrrrrrrrrrr2.已知a?(2,?6),b?(?8,10)，求（1）|a|,|b|，（2）a?b，（3）a?(2a?b)，（4）(2a?b)?(a?3b)。
题型10.求向量的夹角
rrrrrr1.已知|a|?8,|b|?3，a?b?12，求a与b的夹角。
rrrr2.已知a?(3,1),b?(?23,2)，求a与b的夹角。
3.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cos?BAC。
3
题型11.求向量的模
1.已知|ar|?3,|br|?4，且ar与br的夹角为60o，求（1）|ar?br|，（2）|2ar?3br|。
2.已知ar?(2,?6),br?(?8,10)，求（1）|ar|,|br|，（5）|ar?br|，（6）|ar?12br|。
3.已知|ar|?1，|br|?2，|3ar?2br|?3，求|3ar?br|。
题型12.求单位向量 【与ra平行的单位向量：rre??a|ra|】
1.与ar?(12,5)平行的单位向量是 。
2.与mr?(?1,12)平行的单位向量是 。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知ar?(6,2)，br?(?3,m)，当m为何值时，（1）ar//br？（2）ar?br？
2.已知ar?(1,2)，br?(?3,2)，（1）k为何值时，向量kar?br与ar?3br垂直？ （2）k为何值时，向量kar?br与ar?3br平行？
3.已知ar是非零向量，ar?br?ar?cr，且br?cr，求证：ar?(br?cr)。
题型14.三点共线问题
1.已知A(0,?2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。
2.设
uABuur?22(ra?5br),uBCuur??2ra?8br,uCDuur?3(ra?br)，求证：A、B、D三点共线。
4
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