2019届山西省名校高三模拟考试第一次五校联考数学(理)试题

∵圆心F的坐标为F(0,3)，∴∴抛物线的方程为x2?12y. （2）∵

p?3，解得p?6. 25NS是MN与ST的等差中项，圆F的半径为2，∴2MN?ST?5NS?5?4?20.

∴MT?MN?NS?ST?24.

由题知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y?kx?3， 设M(x1,y1)，T(x2,y2)， 由??y?kx?32?x?12y，得x?12kx?36?0，??144k?144?0，

22故x1?x2?12k，x1x2??36. ∵MT?1?k?(x1?x2)?4x1x2 ∴MT?1?k?144k?144?12(1?k)

2由12(1?k)?24，解得k??1.

22222∴存在满足要求的直线l，其方程为x?y?3?0或x?y?3?0 21.解：

（1）由f(e)?e?ae?2b??ae?3e，得b?e. 所以y?x3?x，y'?3x2?1，则y即y?13x?16.

'x?2?13，故所求切线方程为y?(8?2)?13(x?2)

1x1?2e，即?ax?2e??2e， 9lnx911?在[e,e2]上有解. 所以问题转化为a?lnx9x11?，x?[e,e2]， 令h(x)?lnx9x（2）f(x)??11(lnx)2?9x(lnx?3x)(lnx?3x)则h(x)? ???x(lnx)29x29x2(lnx)29x2(lnx)2'

因为e?x?e，

所以1?lnx?2，?3e??3x??3e，

从而lnx?3x?2?3e?2?3?0，lnx?3x?0，

211?在[e,e2]上递减， lnx9x112因此，h(x)min?h(e)??2.

29e1111?在[e,e2]上有解，必须有a?h(x)min，即a??2 要使a?lnx9x29e11所以a的取值范围为[?2,??)

29e所以h'(x)?0，即函数h(x)?22.解：

（1）直线l的普通方程是x?3?3(y?3)即y?3x， 3曲线C的直角坐标方程是x2?y2?23x?2y?5?0 即(x?3)2?(y?1)2?9.

（2）直线l的极坐标方程是??（??R），代入曲线C的极坐标方程得：?2?2??5?0，

?6所以?A??B??2，?A?B??5， 不妨设?A?0，则?B?0

所以||OA|?|OB||?|??A??B|?|?A??B|?2 23.（1）证明：因为f(x)?x?a?x?111?a?x?x??a?1??1， a?1a?1a?1又a??1，所以a?1?所以f(x)?1.

1?1?2?1?1 a?1（2）解：f(1)?2可化为1?a?1?1?2， a?1因为a?1?0，所以1?a?a （*） a?1①当?1?a?0时，不等式（*）无解.

②当a?0时，不等式（*）可化为?aa?a?1?， a?1a?1?a2?a?1?05?15?1?即?2，解得， ?a?22??a?a?1?0综上所述，

5?15?1 ?a?22