答案:
16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,C1B1,C1D1的中点,点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动,则H满足条件________时,有BH∥平面MNP.
【解析】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,C1B1,C1D1的中点, 点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动, 所以PN∥BD,PM∥A1B,MN∥A1D, 因为PN∩PM=P,A1B∩BD=B, 所以平面A1BD∥平面PMN,
所以H满足条件H∈线段A1D时,有BH∥平面MNP. 答案:H∈线段A1D
17.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD. 给出下列命题: ①PB⊥AC;
②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行; ③平面PBD⊥平面PAC;
④△PCD为锐角三角形.其中正确命题的序号是________.
【解析】如图,
①若PB⊥AC,因为AC⊥BD,则AC⊥平面PBD,
所以AC⊥PO,又PA⊥平面ABCD,
则AC⊥PA,在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直,与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾.①错误;
②因为CD∥AB,则CD∥平面PAB,所以平面PAB与平面PCD的交线与AB平行.②正确; ③因为PA⊥平面ABCD,所以平面PAC⊥平面ABCD,
又BD⊥AC,所以BD⊥平面PAC,则平面PBD⊥平面PAC.③正确; ④因为PD=PA+AD,PC=PA+AC,AC=AD+CD,AD=CD, 所以PD+CD=PC,
所以△PCD为直角三角形,④错误. 答案:②③
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(12分)(2019·泰州高一检测)如图,在三棱锥A-BCD中,点E,F分别是BD,BC的中点,AB=AD,AE⊥BC.求证: (1)EF∥平面ACD. (2)AE⊥CD.
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【证明】(1)因为点E,F分别是BD,BC的中点,
所以EF∥CD,又因EF?平面ACD,CD?平面ACD,从而EF∥平面ACD. (2)因为点E是BD的中点,且AB=AD,
所以AE⊥BD,又因为AE⊥BC,BC?平面BCD,BD?平面BCD,BC∩BD=B,故AE⊥平面BCD,因为CD?平面BCD,所以AE⊥CD.
19.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AD=2,AB=1,∠BAD=60°,平面PCD⊥平面ABCD,点M为PC上一点. (1)若PA∥平面MBD,求证:点M为PC中点. (2)求证:平面MBD⊥平面PCD.
【证明】(1)连接AC交BD于O,连接OM,如图所示;
因为PA∥平面MBD,PA?平面PAC,平面PAC∩平面MBD=OM,所以PA∥OM. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以O是AC的中点,所以M是PC的中点. (2)在△ABD中,AD=2,AB=1,∠BAD=60°, 所以BD=AB+AD-2AB·ADcos∠BAD=3, 所以AD=AB+BD,所以AB⊥BD. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD,所以BD⊥CD.
又因为平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD=CD,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面PCD. 因为BD?平面MBD,所以平面MBD⊥平面PCD.
20.(14分)(2019·太原高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,△PCD是正三角形,PC⊥AC,E是PA的中点. (1)证明:AC⊥PD. (2)求三棱锥P-BDE的体积.
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【解析】(1)因为AD∥BC,AB⊥AD, 所以∠ABC=∠BAD=90°,
因为AB=BC=1,所以∠CAD=45°,AC=
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由余弦定理得CD=AC+AD-2AC·AD·cos∠CAD=2, 所以AC+CD=4=AD,所以AC⊥CD, 因为PC⊥AC,PC∩CD=C, 所以AC⊥平面PCD,则AC⊥PD.
(2)由(1)知,平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD=CD,因为△PCD是正三角形,取CD中点O,连接PO,
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则PO⊥平面ABCD,因为CD=
,所以PO=
,因为E是PA的中点,所以E到平面ABCD的距
离h=.
所以VP-BDE=VA-BDE=VE-ABD=××2×1×=.
21.(14分)(2019·泉州高一检测)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,E,F分别为PC,DC的中点,PA=DC=2AB=2AD=2. (1)证明:平面PAD∥平面EBF. (2)求三棱锥P-BED的体积.
【解析】(1)由已知F为CD的中点,且CD=2AB,所以DF=AB,因为AB∥CD,所以AB∥DF,又因为AB=DF,所以四边形ABFD为平行四边形,所以BF∥AD,又因为BF?平面PAD,AD?平面PAD,所以BF∥平面PAD.在△PDC中,因为E,F分别为PC,CD的中点,所以EF∥PD,因为BF?平面PAD,PD?平面PAD,所以EF∥平面PAD,因为EF∩BF=F,所以平面PAD∥平面EBF.
(2)由已知E为PC中点,VP-BDC=2VE-BDC, 又因为VP-BDE=VP-BDC-VE-BDC, 所以VP-BDE=VP-BDC,
因为S△BDC=×1×2=1,
VP-BDC=S△BDC·AP=,
所以三棱锥P-BED的体积VP-BED=.
22.(14分)(2019·苏州高一检测)在《九章算术》中,将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图所示的五面体是一个羡除,其中棱AB,CD,EF相互平行,四边形ABEF是梯形.已知CD=EF,AD⊥平面ABEF,BE⊥AF. (1)求证:DF∥平面BCE. (2)求证:平面ADF⊥平面BCE.
【证明】(1)因为AB,CD,EF相互平行,四边形ABEF是梯形.CD=EF, 所以四边形CDFE是平行四边形, 所以DF∥CE,
因为DF?平面BCE,CE?平面BCE, 所以DF∥平面BCE.
(2)因为AD⊥平面ABEF,BE?平面ABEF, 所以BE⊥AD,
因为BE⊥AF,AF∩AD=A. 所以BE⊥平面ADF, 因为BE?平面BCE, 所以平面ADF⊥平面BCE.
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