12－x144－x21600(12＋x)
（2）由已知函数求导，得f'(x)＝＋6002]． 2＝(12－x)[＋2xx(x＋144)2(x＋144)
令
f'(x)
＝
0
，
得
x
＝
12． …………………………9分
列表得
x f'(x) f(x) (4，12) ＋ 增 12 0 极大值 (12，22) － 减 所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时． …………………………12分
答：（1）实数m的值为12；（2）空气质量指数最高的时刻为12时． ……………………14分
18．(本小题满分16分)
a2
解：（1）因为椭圆C的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×＝8，
c
所以a＝2，c＝1，所以b2＝3， 所
以
椭
圆
的
方
程
为
x24
＋
y23
＝
1． …………………………3分 （2）设P(x0，y0)，由于m＝0，则Q(－x0，－y0)，
由
x024
＋
y023
＝
1
，
得
y02
＝
3
－
3x02
， …………………………5分 4
y0x0＋2
－y0
·
－x0＋2
y02x02－4
3x023－
42x0－4
所以
k1k2
＝＝＝＝－
3
． …………………………8分 4
（3）由（1）得A(－2，0)．
高三数学试题第5页（共4页）
方法一：设P(x1，y1)，设直线AP的方程为AP：y＝k1(x＋2)， xy??＋＝122
联立?43，消去y，得(3＋4k12)x2＋16k1x＋16k1－12＝0，
?y＝k1(x＋2)?所
2
2
2
以
xA·x1
＝
16k1－12
， …………………………10分
3＋4k126－8k112k1
所以x1＝， 2， 代入y＝k1(x＋2)得y1＝3＋4k13＋4k12所
以
P(
6－8k1
3＋4k122
2
，
12k1)． …………………………12分
3＋4k1224k1－2－12k111
由k1k2＝－，得k2＝－，所以Q(，)． …………………………
44k11＋12k121＋12k1213分
→→设M(m，0)，由P，Q，M三点共线，得PM＝λQM， 24k1－2－12k16－8k112k1即－m)， 2×(2－m)＝ 2×(3＋4k11＋12k11＋12k13＋4k12化
简
得
(m
－
1)(16k12
＋
4)
＝
0
，
所
以
m
＝
2
2
2
1． …………………………16分
方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
xy??＋＝1联立?43，消去y，得(3＋4k2)x2－8mk2x＋4m2k2－12＝0，
??y＝k(x－m)所
以
x1
＋
x2
＝
8mk2
3＋4k2，
x1·x2
＝
2
2
4m2k2－12
…………………………10分
3＋4k2k(x1－m)k(x2－m)k2[x1x2－m(x1＋x2)＋m2]y1y21
而k1k2＝·＝·＝＝－，
4x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2x1x2＋2(x1＋x2)＋4
……………………
……13分
k2(3m2－12)12222
化简得2222＝－，即mk＋mk－2k＝0． 44mk＋16mk＋16k
高三数学试题第6页（共4页）
因为k2≠0，所以m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2(舍去)． 当m＝1时，△＞0， 所
以
，
m
＝
1． …………………………16分 19． (本小题满分16分)
2
解：（1）由函数f(x)＝x3－tx2＋1，得f'(x)＝3x2－2tx．由f'(x)＝0，得x＝0，或x＝t．
3
22
因为函数f(x)在(0，1)上无极值点，所以t≤0或t≥1，
333
解得t≤0或t≥．…………………………4分
2
（2）令f'(x)＝3x2－2tx＝p，即3x2－2tx－p＝0，△＝4t2＋12p．
t2
当p＞－时，Δ＞0，此时3x2－2tx－p＝0存在不同的两个解x1，x2．…………………
3
8分
设这两条切线方程为分别为y＝(3x12－2tx1)x－2x13＋tx12＋1和y＝(3x22－2tx2)x－2x23
＋tx22＋1．
若两切线重合，则－2x13＋tx12＋1＝－2x23＋tx22＋1，
即2(x12＋x1x2＋x22)＝t(x1＋x2)，即2[(x1＋x2)2－x1x2]＝t(x1＋x2)．
2tt24t24t222
而x1＋x2＝，化简得x1·x2＝，此时(x1－x2)＝(x1＋x2)－4x1x2＝－＝0，
3999与x1≠x2矛盾，所以，这两条切线不重合．
综上，对任意实数t，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平
行． …………………………10分
（3）当t＝3时f(x)＝x3－3x2＋1，f'(x)＝3x2－6x．
由（2）知x1＋x2＝2时，两切线平行． 设A(x1，x13－3x12＋1)，B(x2，x23－3x22＋1)， 不妨设x1＞x2，则x1＞1． 过点
A
的切线方程为
y＝(3x12－6x1)x－2x13＋3x12＋
1． …………………………11分
高三数学试题第7页（共4页）
所以，两条平行线间的距离
|2x23－2x13－3(x22－x12)||(x2－x1)[2(x1＋x2)2－2x1x2－3(x1＋x2)]|d＝＝＝4，
1＋9(x12－2x1)21＋9(x12－2x1)2化
简
得
(x1
－
1)6
＝
1
＋
9[(x1
－
1)2
－
1]2， …………………………13分 令(x1－1)2＝λ(λ＞0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，
即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0．
显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解． 因为x1－1＞0，所以x1有3解， 所
以
满
足
此
条
件
的
平
行
切
线
共
有
3
组． …………………………16分 20．(本小题满分16分)
解：（1）①由a4－a3＝4，a3－a2＝2，a2－a1＝1，a1＝1，累加得a4＝8． ………………………3分
②因an＋1－an＝qn1，所以n≥2时，an－an－1＝qn2，…，a2－a1＝1．
－
－
(i)当q＝1时，an＝n－1＋a1 (n≥2)．又因为a1满足an＝n－1＋a1，所以an＝n－1＋
a1 (n∈N*)．
因为2s＝r＋t，所以2as＝ar＋at，所以q＝1满足条件． 1－qn1
(ii)当q≠1且q＞0时，an＝＋a1 (n≥2)．
1－q
－
又因为a1
1－qn11－qn1
满足an＝＋a1，所以an＝＋a1 (n∈
1－q1－q
－
－
N*)． ……………………5分
因为2s＝r＋t，
若存在r，s，t满足条件，即2as＝ar＋at，化简得2qs＝qr＋qt， 则2＝qrs＋qts≥2qr－
－
＋t－2s＝2，
此时r＝t＝s，这与r，s，t互不相等矛盾． 所
以
q
≠
1
且
q
＞
0
不
满
足
条
高三数学试题第8页（共4页）
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