函的单调性与最值
一、
知识梳：（阅读教材必修1第27页—第32页）
1．对于给定区间D上的函f(x)，对于D上的任意两个自变量x1,x2，当x1?x2时，
都有f(x1)?f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函; 当x1?x2时，都有
f(x1)?f(x2)， 则称f(x)是区间D上减函.
2．判断函单调性的常用方法：
（1）定义法： （2）导法： （3）利用复合函的单调性; (4) 图象法. 3.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是
x1?x2增函；(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函.
x1?x24.设y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函；如果f?(x)?0，则f(x)为减函.
5.如果f(x)和g(x)都是增(或减)函,则在公共定义域内是f(x)?g(x)增(或减)函;
f(x)增g(x)减,则f(x)?g(x)是增函;f(x)减g(x) 增,则差函f(x)?g(x)是减函.
6．基本初等函的单调性
（1）一次函y?kx?b. 当k?0在???,???上是增函；当k?0在???,???上是减函
（2）二次函y?ax2?bx?c(a?0).
b???b?,???上是增函； 当a?0在???,??上是减函；在??2a???2a?b???b?当a?0在???,??上是增函；在??,???上是减函；
2a???2a?（3）反比例函y?k(k?0). x 当k?0在???,0?上是减函，在?0,???上是减函；当k?0在???,0?上是增函，在
?0,???上是增函。
（4）指函y?ax(a?0,a?1).当a?1在???,???上是增函；当0?a?1在
???,???上是减函。
（5）指函y?logax(a?0,a?1)当a?1在?0,???上是增函；当0?a?1在?0,???上是减函。 7.函的最值
对于函y=f(x)，设定义域为A，则
（1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函f(x)的 。
（2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函f(x)的 。 二、题型探究
【探究一】：判断证明函的单调性 例1：试判断函f(x)?
例2：下列函中，在区间(??,0]上是增函的是（ ） （A）y?x2?4x?8（B） y?log1(?x) （C）y??22x在区间（0，1）上的单调性. x?12 （D）y?1?x x?1探究二：抽象函的单调性
例3：【2013师大精典题库】定义在R上的函f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a、b，有f(a+b)=f(a)f(b). (1)求证：f(0)=1；
(2)求证：对任意x，f(x)> 0； (3)证明：f(x)是R上的增函。
例4：函f(x)对任意a、b，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。 (1)证明：f(x)是R上的增函； (2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3<3.
探究三：与单调性有关的参问题
例5：若函y?f(x)在R单调递增，且f(m2)?f(?m)，则实m的取值范围是
（ ）
A.???,?1? B.?0,??? C.??1,0? D.???,?1?
探究四、函的单调性与最值 例6：求下列函的值域 1、 y＝－x2－6x－5 2、 y=x+ 3、
4、 ,表示不超过x的最大整
例7：12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. w w w .x k b 1.c o m
?0,???
①当a＜0时，由图①可知，
f(x)min＝f(0)＝－1， f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a＜1时，由图②可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图③可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1. ④当a＞2时，由图④可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a， f(x)max＝f(0)＝－1.
综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a； 当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a； 当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1； 当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1. 三、方法提升
1、 函的单调性只能在函的定义域内讨论，函在给定的区间的单调性反映函在区间上函值的变趋势，是函在区间上的整体性质 ，但不一定是函在定义域内上的整体性质，函的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制； 2、 求函的单调区间，首先请注意函的定义域，函的增减区间都是定义域的子区
间;其次，掌握基本初等函的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，导法；
3、 利用函的单调性可以解函不等式、方程及函的最值问题。 四、反思感悟
。 五、课时作业
一、选择题
1. 【15高考改编】函f(x)?ln(x2?x)的定义域为（ ）
A. (??,0)?(1,??) B (??,0]?[1,??) C.(0,1) D. [0,1] 2. 【15高考改编】已知函f(x)?5|x|，g(x)?ax2?x(a?R)，若f[g(1)]?1，则a?（ C ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
13.已知偶函f(x)在区间?0,??)单调递增，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围是
3（A ）
12212?2?A．（，） B．（??，） C．（，） D．?,???
33323?3?4.若偶函f(x)在???,?1?上是增函，则下列关系式中成立的是 （D ）
A．f(?3)?f(?1)?f(2) B．f(?1)?f(?3)?f(2)
22C．f(2)?f(?1)?f(?) D．f(2)?f(?)?f(?1)
5.已知f（x）是R上的奇函f(x)，且f（2）=0，x为单调增函，求x f（x）的解集（ ）A．[-2，0] B. C. D.
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