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6.3反比例函数的应用
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程. 2、体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力.
【重点难点】 1、用反比例函数的知识解决实际问题.
2、如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题.
知识概览图 利用反比例函数解决实际问题 建立反比例函数模型 利用反比例函数的图象与性质进行解答 实际问题的答案与数学问题答案间的区别与联系 新课导引 【生活链接】一段时期市场上使用杆称，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使砣较轻，从而欺骗客户．
【问题探究】(1)如右图所示，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个图用的是较轻的秤砣?
(2)在称同一物体时，所称得的物体质量y(千克)与所用秤砣质量x(千克)之间满足什么关系?
(3)当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质?
【点拨】(1)设物体重为W，阻力臂为L1，秤砣重F，动力臂为L2，则由于W·L1＝F·L2，且W·L1一定，∴F越小，L2越大，显示物体质量越多，故(2)用的是标准秤砣，(1)用的是较轻的秤砣． (2)由(1)的分析可知，y与x之间满足反比例关系． (3)设这个反比例函数为y?符合反比例函数y?的增大而减小)．
k
(k＞0)，则当x变小时，y增大，所以当砣较轻时，称得的物体变重，这正好x
k
中，当k＞0，x＞0时，函数的图象在第一象限内，y随x的减小而增大的性质(即y随xx
教材精华
知识点 利用反比例函数解决实际问题
反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要的数学模型．它在现实生活中有着广泛的应用．利用反比例函数的图象与性质，能比较清晰、直观、简捷地解决一些实际问题．
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在生活中有许许多多成反比例关系的实例．如：当路程s一定时，时间t与速度v成反比例关系，写成t?是常数)；当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例关系，写成a?形的底边长y与高x成反比例关系，写成y?的位移s成反比例关系，写成F?s(svS
(S是常数)；当面积是常数S时，三角b
2S (S是常数)；当功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过xW (W是常数)；当压力F一定时，压强p与受力面积S之间成反比例关系，sFU写成p? (F是常数)；在某一电路中，保持电压U不变，电流I与电阻R成反比例关系，写成I? (U是
RS常数)等等．
在利用反比例函数解决实际问题时，一定要注意y?
k
(k为常数，k≠0)这一条件．结合图象说出性质，根x
据性质大致画出图象，求函数的表达式是必须掌握的． 拓展 实际问题中的数量关系一般都具有实际意义，所以在建立数学模型解答问题时，需注意实际问题对数学答案的要求与限制．如一些数量非负(时间、速度、长度一定是正数，人数是正整数等)，在解答过程中要时刻注意问题中的要求．
规律方法小结 数学建模思想是解决实际问题的基本思想方法．在许多实际问题中，需抽象出数学模型(如建立坐标系，设出函数关系式，列出方程等)，即用数学关系式或图形来表示实际问题中数量之间的关系，从而运用数学方法求出问题的答案，使问题得以解决．
课堂检测
基础知识应用题
1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图5－19所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( )
535m B．小于 m3 4444 C．不小于 m3 D．小于 m3
55 A．不小于
2、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．
(1)甲、乙两地相距多少千米?
(2)如果汽车把速度提高到v千米／时，那么从甲地到乙地所用时间t小时将怎样变化? (3)写出t与v之间的函数关系式；
(4)因某种原因，这辆汽车需要在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少? (5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时问?
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综合应用题
3、某课外小组在做气体试验时，获得压强p(pa)与体积V(cm3)之间有下列对应数据： p(Pa) … 1 2 3 2 4 1.5 5 1.2 … … … V(cm3) 6 3 根据表中提供的信息，回答下列问题．
(1)猜想p与V之间的关系，并求出函数关系式； (2)当气体的体积是12 cm3时，压强是多少?
4、某地区去年电价为0．8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0．55～0．75元之间，经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y亿度与(x－0．4)元成反比例，当x＝0．65元时，y＝0．8． (1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年的增加20％?(收益＝用电量×实际电价－用电量×成本价)
探索创新题
5、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)(千帕是一种压强单位)是气体体积V(米3)的反比例函数，其图象如图5－20所示． (1)写出这个函数的表达式；
(2)当气球的体积为0．8立方米时，气球内的气压是多少千帕?
(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米?
体验中考
1、一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I(A)间的函数关系如图5－23所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电A，那么此用电器的可变电阻应 ( )
与电阻R(Ω)之流不得超过10
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A．不小于4．8 Ω B．不大于4．8 Ω C．不小于14 Ω D．不大于14 Ω
2、为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y?
a
(a为常数)，如图5－t
24所示，根据图5－24中提供的信息，解答下列问题．
(1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测
mm，由图象可知，点(1．6，60)在双曲线上，所以有60?，解得m＝96，所以函数关V1.696964系式为P?．依题意有P?≤120，得V≥．故选C．
VV51、分析 设P?2、解：(1)50×6＝300(千米)．
(2)t将减小．
300 (v＞0)． v300 (4)根据题意，得≤5，所以v≥60(千米／时)．
v300 (5)t＝＝3.75(小时)．
80 (3) t? 答：(1)甲、乙两地相距300千米．(2)t将减小．(3) t?300 (t＞0)．(4)汽车的平均速度至少应是60千米／v时．(5)最快需要3.75小时．
【解题策略】本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释．
3、分析 (1)表中可以看出p增大V减小，且p·V＝1×6＝2×3＝3×2＝4×1．5＝5×1.2，即p与V的积是一个常数，所以p与V有可能成反比例关系．(2)将V＝12代入关系式即可． 解：(1)表中p增大V减小，且p与V的积是一个常数， 所以p与V成反比例关系．
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