高中数学竞赛试题及答案（word版本） 

最新高中数学奥数竞赛竞赛试题

总分200分

一、选择题（50分） 1、已知i是虚数单位，则复数

1?2i=（ ） i?2A

i B ?i C

4343??i D ??i 55552、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(??,??)上单调递增的函数是（ ） A

y?x2?x B y?x?2sinx C y?x3?x D y?tanx

rrrr?5?p:a?b?13、已知a,b均为单位向量，其夹角为?，则命题是命题q:??[,)的

26（ ）

A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合P??x|1?x?2?,M??x|2?a?x?1?a?，若PIM?P，则实

数a的取值范围是（ ） A

(??,1] B [1,??) C [?1,1] D [?1,??)

5、函数y?3??sin(x?)?cos(?x)的最大值是（ ） 226131313 B C D 13 4426、如图，四棱锥S?ABCD的底面是正方形，SD?底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）

A A C D

AB?SA B BCP平面SAD

BC与SA所成的角等于AD与SC所成的角

SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

7、程序框图如图所示，若

f(x)?x2,g(x)?log2x，输入x的

值为0.25，则输出的结果是（ ）

0.24 B ?2 C 2 D ?0.25 rr8、设i,j分别表示平面直角坐标系x,y轴上的单位向量，且

A

rrrrrra?i?a?2j?5，则a?2iA

的取值范围是（ ）

[22,3] B [6565,22] C [5,4] D [,3] 559135x2y2)，9、已知F1,F2分别为双曲线C:??1的左右焦点，点A的坐标为(,22927则?F1AF2的平分线与轴的交点M的坐标为（ ） A

(2,0) B (?2,0) C (4,0) D (?4,0)

10、设

f(x)?x2?bx?c，若方程f(x)?x无实根，则方程f(f(x))?x（ ）

A 有四个相异实根 B 有两个相异实根

C 有一个实根 D 无实数根

二、填空题（共49分） 11、设直线y?ax?4与直线y?8x?b关于直线y?x对称，则a?___,b?____.

12、已知

1?cosx?sinx，则x?_______.

1?cosxx(x?1)?arcsin(x2?x?1)的值为_______.

213、已知x?R，则14、已知实数a,b,c,d满足ab?c_______. 15、设数列_______.

?d2?1，则(a?c)2?(b?d)2的最小值为

2011?an?为等比数列，且每项都大于

1，则lga1lga20121?i?1lgailgai?1的值为

11(x?)4?(x4?4)xx的最小值为_______. 16、设x?0，则f(x)?11(x?)3?(x3?3)xx17、如图是一个残缺的3?3幻方，此幻方每一行每一列及每一

条对角线上得三个数之和有相等的值，则x的值为_______.

三、解答题（每题17分，共51分）

4015 2014 4017 9 2012 11 18、已知实数x1,x2,L均值.

,x10满足?|xi?1|?4,?|xi?2|?6，求x1,x2,L,x10的平

i?1i?11010x2y219、设P为椭圆??1长轴上一个动点，过点P斜率为k直线交椭圆于两点。若

2516PA?PB

22的值仅仅依赖于k而与P无关，求k的值.

20、设

p,q?Z?，且

p?q2。试证对n?Z?，存在

N?Z?，(p?p2?q)n?N?N2?qn且(p?p2?q)n?N?N2?qn.

使

四、附加题（每题25分，共50分）。

21、设圆O4与O1，圆O1与O2，圆O2与O3，圆O3与O4分别外切于P1,P2,P3,P4，试证：

（1）P1,P2,P3,P4四点共圆；

（2）四边形O1O2O3O4是某个圆的外切四边形；并且该圆的半径不超过四边形

P1,P2,P3,P4的外接圆的半径.