【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）实际上是证明令所以注意到又因为因此当所以当由于所以
在在
，由题设时，，
上单调递减，在
，
，而，则
上单调递增；
，所以的图象在切线
的上方.
，在
， 唯一的极小值. ，所以使得
； ；
时，
单调递减； 时等号成立；
；
上单调递减，所以存在在唯一的或者或者，所以
时，时，
，当单调递增，当
时，
，当且仅当
成立.
时，不等式
【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差
函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 21.已知函数(Ⅰ)若(Ⅱ)若
，求曲线
，判断函数
． 在点
处的切线方程；
的零点个数，并说明理由. （Ⅱ）详见解析
【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】 （Ⅰ）把
分别代入原函数及导函数解析式，求得f′（1）及f（1），利用直线方程的点斜式求解；（Ⅱ）求出导
函数的零点，列关于x，f′（x），f（x）变化情况表，求得函数最小值f（a）．然后分f（a）＞0，f（a）＝0，f（a）＜0三类分析原函数的零点． 【详解】解：函数f’(x)=（I）若所以曲线
，f’(1)=3，且
,
的定义域为
. ,.
在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0.
（舍）.
（Ⅱ）令f’(x)=0，得x=a，x,f(x), f’(x)变化情况如下表：
x f’(x)
(0,a) ↘ a 0 极小值 ↗ )=a-2alna
①当②当③当因为所以在因为又所以所以当综上：
时，
时，在上，，所以，且在
在，即，即，即>0，
时，时，
. 无零点. 只有一个零点.
时， ,且
在
上单调递减，
上存在唯一零点；
，
，即
上单调递增，
.
.
上存在唯一零点； 时，时，
有两个零点. 无零点；
只有一个零点；
有两个零点.
【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题． 22.已知（1）若（2）当
，讨论函数时，若不等式
.
.
的单调性；
在
上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）
的定义域为
，且
，据此确定函数的单调性即可；
（2）由题意可知【详解】（1）∵∴当∴函数（2）当由题意，①若②若显然（i）当∴（ii）当∴存在当∴∴当
在，当，记在
单调递增， 时，当时，，，使时，
. ，时，
时，在
的定义域为
，；
上单调递减；在时，
在
时，显然有
，
在
上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.
时，
上单调递增. 上恒成立
恒成立；不符题意.
，则
,
，
时，上单调递增 ，不符合题意
上单调递减；在时，
综上所述，所求的取值范围是
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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