第7课时 带电粒子在复合场中的运动
考点 带电粒子在复合场中运动的应用实例
1．质谱仪(如图1)
12
粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv.
2
v2
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m. r1
由以上两式可得r＝
2mUBqr2B2q2U，m＝，＝22. q2UmBr 图1
2．回旋加速器(如图2)
图2
mv2
交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，
rq2B2r2
得Ekm＝，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速
2m电压无关．
3．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量．
装置 原理图 规律 速度选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动 EB等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带磁流体发电机 正、负电，两极板电压为U时稳定，q＝qv0B，UdU＝v0Bd
1
电磁流量计 UUπDUq＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝ DDB4B当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁霍尔元件
场、电流方向都垂直的方向上出现电势差 例1 (2019·山东济南市上学期期末)质谱仪可利用电场和磁场将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用．如图3所示，虚线上方有两条半径分别为R和r(R>r)的半圆形边界，分别与虚线相交于A、B、C、D点，圆心均为虚线上的O点，
C、D间有一荧光屏．虚线上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.
虚线下方有一电压可调的加速电场，离子源发出的某一正离子由静止开始经电场加速后，从
AB的中点垂直进入磁场，离子打在边界上时会被吸收．当加速电压为U时，离子恰能打在荧
光屏的中点．不计离子的重力及电、磁场的边缘效应．求：
图3
(1)离子的比荷；
(2)离子在磁场中运动的时间；
(3)离子能打在荧光屏上的加速电压范围．
8UπB?R＋r?U?R＋3r?U?3R＋r?
答案 (1)2 (3)2 (2)2≤U′≤2 B?R＋r?8U4?R＋r?4?R＋r?
解析 (1)由题意知，加速电压为U时，离子在磁场区域做匀速圆周运动的半径r0＝2
2
2
R＋r2
v2
洛伦兹力提供向心力，qvB＝m
r0
12
在电场中加速，有qU＝mv
2解得：＝q8U 2
mB?R＋r?2
qB2πm(2)离子在磁场中运动的周期为T＝ 在磁场中运动的时间t＝ 2πB?R＋r?
解得：t＝
8U(3)由(1)中关系，知加速电压和离子半径之间的关系为U′＝若离子恰好打在荧光屏上的C点，轨道半径rC＝
2
T4U2
2r′ ?R＋r?
R＋3r4
2
U?R＋3r?2
UC＝2
4?R＋r?
3R＋r若离子恰好打在荧光屏上的D点，轨道半径rD＝ 4
U?3R＋r?2
UD＝2
4?R＋r?
U?R＋3r?2U?3R＋r?2
即离子能打在荧光屏上的加速电压范围：2≤U′≤2.
4?R＋r?4?R＋r?
变式训练
1.(2019·福建三明市期末质量检测)磁流体发电机的原理如图4所示．将一束等离子体连续以速度v垂直于磁场方向喷入磁感应强度大小为B的匀强磁场中，可在相距为d、面积为S的两平行金属板间产生电压．现把上、下板和电阻R连接，上、下板等效为直流电源的两极．等离子体稳定时在两极板间均匀分布，电阻率为ρ.忽略边缘效应及离子的重力，下列判断正确的是( )
图4
A．上板为正极，a、b两端电压U＝Bdv
Bd2vρSB．上板为负极，a、b两端电压U＝ RS＋ρdC．上板为正极，a、b两端电压U＝D．上板为负极，a、b两端电压U＝答案 C
解析 根据左手定则可知，等离子体射入两极板之间时，正离子偏向a板，负离子偏向b板，即上板为正极；稳定时满足
BdvRS RS＋ρdBdvRS Rd＋ρSU′
q＝Bqv，解得U′＝Bdv；根据电阻定律可知两极板间的电阻dρdU′BdvRS为r＝，根据闭合电路欧姆定律：I＝，a、b两端电压U＝IR，联立解得U＝，
SR＋rRS＋ρd故选C.
2.(多选)(2019·浙江宁波市“十校联考”)霍尔式位移传感器的测量原理如图5所示，有一个沿z轴方向的磁场，磁感应强度B＝B0＋kz(B0、k均为常数)．将传感器固定在物体上，保持通过霍尔元件的电流I不变，方向如图所示，当物体沿z轴方向移动时，由于位置不同，霍尔元件在y轴方向上、下表面的电势差U也不同．则( )
图5
3
ΔUA．传感器灵敏度与上、下表面的距离有关
ΔzB．磁感应强度B越大，上、下表面的电势差U越小 ΔUC．k越大，传感器灵敏度越高
ΔzD．若图中霍尔元件是电子导电，则下表面电势高 答案 AC
解析 最终自由电荷在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡状态，设霍尔元件的长、宽、高分别为a、b、c，有q＝qvB，电流的微观表达式为I＝nqvS＝nqvbc，所以U＝
UcBI.B越大，nqbΔU上、下表面的电势差U越大，B错误；U＝Bcv＝(B0＋kz)cv，则＝kcv，所以A、C正确；
Δz若该霍尔元件中移动的是自由电子，根据左手定则，电子向下表面偏转，所以上表面电势高，故D错误．
考点 带电粒子在叠加场中的运动
1．解题规范
(1)分析叠加场的组成特点：重力场、电场、磁场两两叠加，或者三者叠加． (2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律或功能关系． 2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足
qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝
v2
qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
r(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
例2 (2019·安徽蚌埠市三模)如图6所示，MN、PQ是水平放置的一对平行金属板，两板接在电压为U的电源两极上，上极板MN的中心开有一个小孔，在两板之间加一个水平方向的有界匀强磁场，边界为半径为R的圆，且与MN极板相切于小孔处．现将一带电小球从小孔正上
4
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