《二次函数》
1．如图，平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）经过A、B、
C三点．
（1）求线段OB、OC的长．
（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请说明理由．
解：（1）y＝ax2﹣8ax+12a＝a（x﹣6）（x﹣2）， 故OA＝2，OB＝6， △OCA∽△OBC，则解得：CO＝2
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，
；
，即：OC2＝OA?OB，
△OCA∽△OBC，则设AC＝2x，则BC＝2故16＝（2x）2+（2
，
x，而AB＝4， x）2，解得：x＝1，
故AC＝2，BC＝2，
S△ABC＝AB×CD＝AC×BC，解得：CD＝，
故OD＝3， 故点C（3，
）；
， ；
将点C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣故抛物线的表达式为：y＝﹣
x2+x﹣4
（3）设点P（m，0），而点B、C的坐标分别为：（6，0）、（3，则BC2＝12，PB2＝（m﹣6）2，PC2＝（m﹣3）2+3， 当BC＝PB时，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6当BC＝PC时，同理可得：m＝6（舍去）或0； 当PB＝PC时，同理可得：m＝4， 综上点P的坐标为：（6
，0）或（0，0）或（4，0）．
；
）；
2．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是直线AB上方抛物线上一点； ①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；
②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m+m+2），点N（m，﹣m+2），
2
则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，
当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；
②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；
（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，
则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2， 解得：a＝， 故点M1（，
）；
（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1， 则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，
作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N， 则tan∠BAO＝
＝，则tan∠QNA＝2，
故直线QH表达式中的k为2，
设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2， 故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，
M2、M1关于B对称，
∴M2（﹣，
）；
）或（﹣，
）．
综上，点M的坐标为：（，
3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M． （1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；
（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．
2
2
解：（1）将点B（4，m）代入y＝x+， ∴m＝，
将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c， 解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，
∴函数解析式为y＝x﹣x﹣； （2）设P（n， n﹣n﹣），
则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣， 直线y＝x+与其垂线的交点G（n+n﹣，∴GP＝
（﹣n2+3n+4），
2
2
2
n2+n+），
当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大， ∴P（，∵AB＝
）， ，PG＝
， ×
＝
；
∴△PAB的面积＝×
（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0）， ∴AM＝2
，AB＝4，MD＝2
，
∴△MAD是等腰直角三角形， ∵△QMN与△MAD相似， ∴△QMN是等腰直角三角形， 设N（t， t﹣t﹣）
①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；
②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S， ∵QN＝MN，∠QNM＝90°， ∴△MNS≌△NMS（AAS） ∴t﹣1＝﹣t2+t+， ∴t＝±∴t＞1， ∴t＝∴N（
， ，1﹣
）； ，
2
③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR∥x轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；
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