由S△BCD＝2S△AOC得：∴
整理得：m﹣3m+2＝0 解得：m1＝1，m2＝2 ∵0＜m＜3 ∴m的值为1或2；
（3）存在，理由：
2
，
设：点M的坐标为：（m，n），n＝﹣x+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2）， ①当BC是平行四边形的边时，
当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B， 同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M）， 故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s， 解得：m＝﹣2或4， 故点M坐标为：（﹣2，﹣②当BC为对角线时，
由中点公式得：m+1＝3，n+3＝2， 解得：m＝2，故点M（2，2）； 综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，
）或（4，
）．
）或（4，﹣
）；
2
12．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；
（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．
解：（1）抛物线y＝ax﹣2ax+3的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣1，0）、B（3，0）．
2
把A（﹣1，0）代入y＝ax﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝﹣1． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴， 由PM＝MN，则△PMG≌△NMH（AAS）， ∴PG＝NH，MG＝MH．
设M（m，﹣m2+2m+3），则N（2m，﹣4m2+4m+3）， ∵P（0，b），GM＝MH， ∴yG+yH＝2yM，
即b+（﹣4m2+4m+3）＝2（﹣m2+2m+3），∴2m2＝b﹣3， ∵b＞3，
∴关于m的方程总有两个不相等的实数根， 此即说明了点M、N存在，并使得PM＝MN．证毕；
（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．
2
①当D′在点H（4，﹣5）上方时， 2t﹣4≥﹣5，∴t≥﹣，
此时，m＝t，n＝﹣5，∵m﹣n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1， ∴﹣≤t≤1；
②当点D′在点H（4，﹣5）下方时， 同理可得：t＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4， 由m﹣n≤6，得t﹣（2t﹣4）≤6， ∴t≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．
综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤1．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时： ①求点D、P、E的坐标； ②求四边形POBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴x＝﹣
＝1，解得：a＝，b＝﹣，
抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝x﹣x﹣2＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4， 当x＝0时，y＝﹣2，
由B（4，0），C（0，﹣2），得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2 设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m， m﹣2），P（m， m2﹣m﹣2）， ∵OD＝4PE，
∴m＝4（m2﹣m﹣2﹣m+2）， ∴m＝5，m＝0（舍去），
∴D（5，0），P（5，），E（5，），
∴四边形POBE的面积＝S△OPD﹣S△EBD＝×5×﹣×1×＝
（3）存在，设M（n， n﹣2）， ①以BD为对角线，如图1，
；
2
∵四边形BNDM是菱形， ∴MN垂直平分BD， ∴n＝4+， ∴M（，）， ∵M，N关于x轴对称， ∴N（，﹣）； ②以BD为边，如图2，
∵四边形BDMN是菱形， ∴MN∥BD，MN＝BD＝MD＝1， 过M作MH⊥x轴于H， ∴MH+DH＝DM，
即（n﹣2）2+（n﹣5）2＝12， ∴n1＝4（不合题意），n2＝5.6， ∴N（4.6，），
同理（n﹣2）2+（4﹣n）2＝1，
2
2
2
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