∴n1＝4+∴N（5﹣
（不合题意，舍去），n2＝4﹣，﹣
），
，
③以BD为边，如图3，
过M作MH⊥x轴于H， ∴MH2+BH2＝BM2，
即（n﹣2）+（n﹣4）＝1， ∴n1＝4+∴N（5+
，n2＝4﹣，
），
）或 （
，）或（5﹣
，
）或 （5+
，
（不合题意，舍去），
2
2
2
综上所述，点N坐标为：（
）．
14．如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y＝﹣x+bx+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点． （1）求抛物线的表达式；
（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）． ①当t为何值时，△DPQ的面积最小？
②是否存在某一时刻t，使△DPQ为直角三角形？ 若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
2
解：（1）点A（0，3），点C（4，0）， 将点A、C的坐标代入抛物线表达式
，解得：b＝，c＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x+x+3；
（2）y＝﹣x+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故点E（﹣2，0）； 抛物线的对称轴为：x＝1，则点D（2，3）， 由题意得：点Q（t，3﹣t），点P（4，t）， ①△DPQ的面积＝S△ABC﹣（S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝×t×]＝t2﹣2t．
∵＞0，故△DPQ的面积有最小值，此时，t＝； ②点D（2，3），点Q（t，3﹣t），点P（4，t）， （Ⅰ）当PQ是斜边时，如图1，
3×4﹣ [2×t+2（3﹣t）+（5﹣
）
2
2
过点Q作QM⊥AB于点M，则MQ＝t，MD＝2﹣t，BD＝4﹣2＝2，PB＝3﹣t，
则tan∠MQD＝tan∠BDP，即（Ⅱ）当PD为斜边时，
，解得：t＝（舍去）；
过点Q作y轴的平行线交AB于点N，交过点P于x轴的平行线于点M， 则ND＝2﹣t，QN＝t，MP＝4﹣t，QM＝3﹣t﹣t＝3﹣2t，
同理可得：，
解得：t＝或；
（Ⅲ）当QD为斜边时， 同理可得：故t＝综上，t＝
； 或或
或
．
15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D）重合． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）过点P作PE⊥y轴于点E，求△PBE面积的最大值及取得最大值时P点的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）∴所以二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3
∵y＝﹣x+2x+3＝﹣（x﹣1）+4 ∴D的坐标为（1，4）；
（2）设BD的解析式为y＝kx+b ∵过点B（3，0），D（1，4） ∴
解得
22
BD的解析式为y＝﹣2x+6
设P（m，﹣2m+6）， ∵PE⊥y轴于点E，
∴PE＝m，
△BPE的PE边上的高h＝﹣2m+6， ∴S△BPE＝×PE×h＝m（﹣2m+6） ＝﹣m2+3m＝∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝时△BPE的面积取得最大值为， 当m＝时，y＝﹣2×+6＝3， ∴P的坐标是（，3）；
（3）设点M（s，0），点N（m，n），n＝﹣m+2m+3， ①当BP是边时，
点P向右平移个单位向下平移3个单位得到B，
同理点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），
2
，
即s＝m，0±3＝n，
或或；
解得：s＝﹣
②当PB为对角线时，
m+s＝3+，n＝3，
解得：s＝或， 故：M点的坐标为：
．
；
；
；
；
；
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