武汉大学 2016-2017 第一学期线性代数 B 期末试题 A

武汉大学 2016-2017 第一学期线性代数 B 期末试题 A

1. （10 分）己知方阵 A

3 0 1 0

0 1 2 0

2 3 1 0 2 1

1 0

. 求 A11 A12 2M13 2M14 的值。

??4 ? 2 0 0 ??????

??? 3 1 0 0 ???

2. （10 分）设 A 的伴随矩阵 A??????，求矩阵A .

0 0 0 ? 4 ?? ????0 0 0 ??1 ?? 1 ?

3. （10 分）设 A ? ， A是 4 阶方阵 A 的伴随矩阵，计算行列式： (3A) 1 2A

2

? 3 0 1??????

4. （10 分）设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB ? A ? 2B ，其中 A ? ? 1 1 0? .求矩阵 B .

??0 1 4 ??? ??

5. （8 分）已知 3 阶方阵A 的特征值为 1,、2、-3，求行列式 A?1 ? 3A ? 2I 的值。 6、(8 分)证明 秩为r 的矩阵可表示为r 个秩为 1 的矩阵之和。 7. （8 分）已知二次型 f (x , x , x ) ? x 2 ? 6x x

1

2

3

1

1 2

? 4x x ? x 2 ? 2x x?1 3

2

2 3

? tx 2 ，

3

的秩为 2，求参数t 为的值。

??x1 ? x2 ? x3 ? 0

8、（16 分）设线性方程组x ? 2x ? ax ? 0 与 x

?1 2 3 ?

x ? 4x ? a 2 x ? 0

? 2x ? x?? a ?1有公共解，求a 的值及

1 2 3

所有公共解.

? 1

2 3

9、（10 分）设二次型 f (x , x , x ) ? X T AX ? ax 2 ? 2x 2 ? 2bx x ? 2x 2 , (b ? 0) ， 其中 A 的

1

2

3

1

2

1 3

3

特征值之和为 1，特征值之积为-12.

（1） 求a, b 的值；（2）利用正交变法将二次型 f 化为标准型，并写出正交矩阵.

10、（10 分）设有向量组

1

1,1, 3, 2 ， 2

T

3, 2, 4,1

T

3

4, 1, 7, 3

T

， 4 2, 2, 3, 4

T

（1）求矩阵A

( 1, 2 , 3 , 4 )的秩 R(A).

（2） 求此向量组的一个极大线性无关组.并将其余的向量用极大线性无关组表出

武汉大学 2016-2017 第一学期线性代数 B 期末试题 A 解答

1. （10 分）己知方阵 A

3

0 1 0

0 1 2 0 2 3 1 0

. 求 A11

2 1 1 0 A11 A12

2A13

A12 2M13 2M14 的值。

解 因 为 A11

A12 2M13 2M14 2A14

根据行列式的展开定理知：在 A 中将第一行换成 1, 1, 2, 2. 便得：

A11 A12 2M13 2M14

1 0 1 0 1 2 2 1 1 0 2 2 1 0 1 0

1 4 3 1 01

1 2 1

0 2 1

1 2 1 1

1.

? 4 ? 2 0 0 ??

????1 0 0 ?? ?

2. （10 分）设 A 的伴随矩阵 A? ?? 3 ，求矩阵A .

? 0 0 ? 4 0 ??

????

? 0 0 0 ? 1??

1 A 3 1

A 解 由AA A E ，故A A (A*) 1 ，又 A ，(A*) 1

1

A 1

A2 1

1 1 2 1

, A

2

2 3 4

1 1 4 0 1 3 0 0

0 4

， A

4 3 2 1 4 0 0 1

8 ，

所以 A 2 ，故A

2 0

4 0 0 1 / 2 0 0 0 0 0 2

2A

3.

（10 分）设 A ?

1

1

， A是 4 阶方阵 A 的伴随矩阵，计算行列式： (3A) 1

?

2

解 (3A)

2A

2 1 1

A 3 2

4

( 4 ) A 3

2A

2 * A3

2A

25 34

4 A3

32/81

3

4

( 4 ) A 3

4.

? 3 0 1??

????

（10 分）设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB ? A ? 2B ，其中 A ? ? 1 1 0? .求矩阵 B .

??0 1 4 ??? ??

解 由题设 AB ? A ? 2B ,得( A ? 2I )B ? A

1 0 1

因 为 A ? 2I ? 1 ?1 0 ? ?1 ? 0

0 1 2

???? 1 0 1 ?? ?? 3 0 1 ??1

所以 A ? 2I 可逆，且 B ? ( A ? 2I )A ? 1 ?1 0 1 1 0 ?

? ? ? ??? 0 1 2 ? ? 0 1 4 ??? ? ? ??

?1

?

? 2 ?1 ?1?? 3 0 1? ? 5 ? 2 ? 2??

???? ? ????? ? 2 ? 2 ?1??1 1 0? ? ? 4 ? 3 ? 2?. ??1 1 1 ?? 0 1 4 ???? 2 2 3 ??

?????? ????

5. （8 分）已知 3 阶方阵A 的特征值为 1,、2、-3，求行列式 A?1 ? 3A ? 2I 的值。

1 ?1 ?1

解： 因为 A? ? ?? ，则 AA? ? ?A? 从而 ? ? A?1?

即 是 A 的特征值，? 是 A 的属于 的特征向量；

1

?1 ?1

1

??知， ? 3? ? 2 是 A?1 ? 3A ? 2I 的特征值 因为 3 阶方阵 A 的特征值为 1,、2、-3，

1

?

17

??22

??所以 3 阶方阵 A? 3A ? 2E 的特征值为 6、?1

、- ，

2 3

17 22则 A?1 ? 3A ? 2I =6 ? ? (? ) ? ?374

2 3

6、(8 分)证明 秩为r 的矩阵可表示为r 个秩为 1 的矩阵之和。

? IO ??

证：设矩阵 R( A ) ? r ，则矩阵 A 必与矩阵r ?等价，所以必存在两个可逆矩阵

? ??

m?n O O ? ?m?n

? Ir O ?

? Ir O ??可以分解为r 个只有一个元素 1 其余 P , Q 使得 A ? P ?

? ??Q ，而? ??

m?m n?n O O O O ? ?m?n ? ?m?n 元素全为零的m ? n 阶矩阵之和的形式:

? 1 0 ?

0 0 ? O ?

? Ir ? ?? O O ? ?? ?m?n ?

? 0 ? 0 0 ?

0 ? ? 0 0 ? ? 0 0 1 ? ? ? ? ??? ? 0 0 ? ? 0

? ? 0 0 0 0 ? ?

0 ? ? 0 0

? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? 0 0 0 0 ?? ?

0 ??

?0 ???? ????0 0 ??0 0 ????

0 0 1

? E1 ? E2 ? ? Er

? Ir O ?

故 A ? P Q ? ??r? PE Q ，由 R(PE Q) ? 1 (i ? 1, 2, , r) ，

? ??i i

O O ? ?m?n i?1

所以秩为r 的矩阵可表示为r 个秩为 1 的矩阵之和。

7. （8 分）已知二次型 f (x , x , x ) ? x 2 ? 6x x

1

2

3

1

1 2

? 4x x ? x 2 ? 2x x?1 3

2

2 3

? tx 2 ，

3