集体备课——函数
典例分析：
1、记函数f(x)=2?x?3x?1的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B. (1) 求A；
(2) 若B?A, 求实数a的取值范围. （难度：★）
解：(1)2－x?3x?1≥0, 得x?1x?1≥0, x<－1或x≥1
即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).
∵B?A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥12或a≤－2, 而a<1,
∴12≤a<1或a≤－2, 故当B?A时, 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[12,1) 2、已知函数f(x)?x2?ax(x?0，常数a?R)．
（1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f(x)在x?[2，??)上为增函数，求a的取值范围． 解：（1）当a?0时，f(x)?x2，
对任意x?(??，0)U(0，??)，f(?x)?(?x)2?x2?f(x)， ?f(x)为偶函数．
当a?0时，f(x)?x2?ax(a?0，x?0)， 取x??1，得 f(?1)?f(1)?2?0，f(?1)?f(1)??2a?0， ?f(?1)??f(1)，f(?1)?f(1)，
? 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x1?x2，
f(x21)?f(x2)?x1?a2a(x?x2)x?x2??1?x1x2(x1?x2)?a?， 1x2x1x2 要使函数f(x)在x?[2，??)上为增函数，必须f(x1)?f(x2)?0恒成立． Qx1?x2?0，x1x2?4，即a?x1x2(x1?x2)恒成立． 又?x1?x2?4，?x1x2(x1?x2)?16．
?a的取值范围是(??，16]．
解法二：当a?0时，f(x)?x2，显然在[2，??)为增函数．
当a?0时，反比例函数
ax在[2，??)为增函数， ?f(x)?x2?ax在[2，??)为增函数． 当a?0时，同解法一． （难度★★★） 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2
＋2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－?f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数?的取值范围．
解：（I）设函数y?f(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),
?x0?x?则 ??0?2 即?x0??x?y0?y ???2?0?y0??y.
∵点Q(x0,y0)在函数y?f(x)的图象上.
??y?x2?2x, 即y??x2?2x, 故g(x)＝?x2?2x.
(II)由g(x)?f(x)?|x?1|可得：|2x2?|x?1|?0
当x?1时，2x2?x?1|?0
此时不等式无解。
当x?1时，2x2?x?1?0
??1?x?12 因此，原不等式的解集为[-1,
12]. (III) h(x)??(1??)x2?2(1??)x?1.
① 当???1时，h(x)＝4x?1在[-1,1]上是增函数，
????1
②当???1时，对称轴的方程为x?1??1??
(i) 当???1时，1??1????1，解得???1。
(ii) 当???1时，1??1???1时，解得?1???0
综上,??0 （难度★★★）
设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)?f(3)?0． （Ⅰ）试判断函数y?f(x)的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2020，2020］上的根的个数，并证明你的结论． .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数y?f(x)的对称轴为x?2和x?7, 从而知函数y?f(x)不是奇函数,
由??f(2?x)?f(2?x)?f(7?x)?f(7?x)???f(x)?f(4?x)?f(x)?f(14?x)?f(4?x)?f(14?x)
?f(x)?f(x?10),从而知函数y?f(x)的周期为T?10
又f(3)?f(0)?0,而f(7)?0,故函数y?f(x)是非奇非偶函数;
I） ??f(2?x)?f(2?x)?f(x)??f(7?x)?f(7?x)??f(4?x)?f(4?x)?f(14?x)
?f(x)?f(14?x)?f(x)?f(x?10)
(II) 又f(3)?f(0)?0,f(11)?f(13)?f(?7)?f(?9)?0
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数y?f(x)在[0,2020]上有402个解,在[-2020.0]上有400个解,所以函数y?f(x)在[-2020,2020]上有802个解. （难度★★★★）
3、设f(x)?1?ax1?ax（a?0且a?1），g(x)是f(x)的反函数.
（Ⅰ）求g(x)；
（Ⅱ）当x?[2,6]时，恒有g(x)?logta(x2?1)(7?x)成立，求t的取值范围；（难度★★★）
4、已知函数f(x)??x2?8x,g(x)?6lnx?m.
（I）求f(x)在区间?t,t?1?上的最大值h(t);
（II）是否存在实数m,使得y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。 解：（I）f(x)??x2?8x??(x?4)2?16.
当t?1?4,即t?3时，f(x)在?t,t?1?上单调递增，
h(t)?f(t?1)??(t?1)2?8(t?1)??t2?6t?7;
当t?4?t?1,即3?t?4时，h(t)?f(4)?16;
当t?4时，f(x)在?t,t?1?上单调递减，
h(t)?f(t)??t2?8t.
??t2 综上，h(t)???6t?7,t?3,?16, 3?t?4, ???t2?8t, t?4 （II）函数y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数
?(x)?g(x)?f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
Q?(x)?x2?8x?6lnx?m, ??'(x)?2x?8?62x2?8x?62(x?1)(x?3) x?x?x(x?0), 当x?(0,1)时，?'(x)?0,?(x)是增函数； 当x?(0,3)时，?'(x)?0,?(x)是减函数； 当x?(3,??)时，?'(x)?0,?(x)是增函数； 当x?1,或x?3时，?'(x)?0.
??(x)最大值??(1)?m?7,?(x)最小值??(3)?m?6ln3?15.
Q当x充分接近0时，?(x)?0,当x充分大时，?(x)?0.
?要使?(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
????(x)最大值?m?7?0, 即7?m?15?6ln3. ???(x)最小值?m?6ln3?15?0, 所以存在实数m，使得函数y?f(x)与y?g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15?6ln3). （难度★★★★）
5、已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极大值5，其导函数y?f?(x)的图象经过点（1，0），（2，0）如图所示，求
（I）x0的值；
（II）a ，b ，c的值。 （难度★★）
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6、已知函数f(x)?2ax?a2?1x2?1(x?R)，其中a?R． （Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
分析：本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?2xx2?1，f(2)?45， 又f?(x)?2(x2?1)?2x·2x(x2?1)2?2?2x2(x2?1)2，f?(2)??625． 所以，曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y?465??25(x?2)， 即6x?2y?32?0．
（Ⅱ）解：f?(x)?2a(x2?1)?2x(2ax?a2?1)(x2?1)2??2(x?a)(ax?1)(x2?1)2．
由于a?0，以下分两种情况讨论． （1）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1??1a，x2?a．当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
x ???∞，?1?1??a?? a ???1a，a??? a (a，?∞) f?(x) ? 0 ? 0 ? f(x) ? 极小值 Z 极大值 ] 所以f(x)在区间??1???∞，?a??，(a，?∞)内为减函数，在区间??1???a，a??内为增函数． 函数f(x)在x1?1??1?1??a处取得极小值f???a??，且f?????a2?a?， 函数f(x)在x12?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1． （2）当a?0时，令f?(x)?0，得到x?11?a，x2?a，当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情
况如下表：
x ??∞，a? a ???a，?1?a?? ?1 ?a???1a，+∞??? f?(x) ? 0 ? 0 ? f(x) Z 极大值 ] 极小值 Z 所以f(x)在区间(?∞，a)，???1???a，+∞??内为增函数，在区间??a，?1?a??内为减函数． 函数f(x)在x1?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1． 函数f(x)在x12??a处取得极小值f???1??，且f??a????1?a????a2． 已知函数f(x)?ax?6x2?b的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知
?1?2f(?1)?5?0,即f(?1)??2,f?(?1)??1. 2?f?(x)?a(x2?b)?2x(ax?6)
(x2?b)2.解得a?2,b?3(?b?1?0,b??1舍去).所以所求的函数解析式是f(x)?2x?6x2?3.(II)f?(x)??2x2?12x?6(x2?3)2.令?2x2?12x?6?0,解得x（难度★★）
1?3?23,x2?3?23,当x?3?23,或x?3?23时,f?(x)?0;当3?23?x?3?23时,f?(x)?0.所以f(x)?2x?6x2?3在(??,3?23)内是减函数;在(3?23,3?23)内是增函数;在(3?23,??)内是减函数.设函数f(x)?ax?1x?b(a,b?Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?3. （1）求y?f(x)的解析式；
（2）证明：曲线y?f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明：曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?1和直线y?x所围三角形的面积为定值，并求出此定值. 【解析】:（Ⅰ）f?(x)?a?1(x?b)2，
??2a?1于是??2?b?3,?1解得1?a?1,或?9因a,b?Z，故f(x)?x?．
??a?(x?b)2?0.?a??,x?1?b??1,???4???b??83. (II)证明：已知函数y11?x,y2?x都是奇函数， 所以函数g(x)?x?1x也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。 而函数f(x)?x?1?1x?1?1。 可知，函数g(x)的图像按向量a=(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数y?f(x)的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形。 （III）证明：在曲线上任一点(x0,x10?x). 0?1由f'(x1x20?x0?110)?1?(x1)2知,过此点的切线方程为y?x?[1?(x](x?x0).
0?0?10?1)2令x?1得y?x0?1x,切线与直线x?1交点为(1,x0?1). 0?1x0?1令y?x得y?2x0?1,切线与直线y?x交点为(2x0?1,2x0?1). 直线x?1与直线y?x的交点为(1,1). 从而所围三角形的面积为
12|x0?1x1?1||2x1|?120?1?2|x?1||2x0?2|?2. 0?0?1所以, 所围三角形的面积为定值2. 【点评】：本题是函数与导数的综合题,主要考查导数的应用,以及函数的有关性质,以及函数与方程的思想,以及分析问题与解决问题的能力. （难度★★★）
2ax?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?
32222???a?a?3?a?a?3??a?a?3?7、已知a?R,求函数f(x)?xe的单调区间. （难度★★）
解：函数f(x)的导数：
f?(x)?2xeax?ax2eax?(2x??ax2)eax.
（I）当a=0时，若x<0，则f?(x)<0，若x>0,则f?(x)>0.
所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II）当a?0时,由2x?ax2?0,解得x??2a或x?0, 由2x?ax2?0,解得?2a?x?0. 所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－2a）内为增函数，在区间（－2a，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
（III）当a<0时，由2x+ax2
>0，解得0 <0，解得x<0或x>－ 2a. 所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－2a）内为增函数，在区间（－ 2a，+∞）内为减函数. 已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）设函数f(x)在区间???2，?1???33?内是减函数，求a的取值范围． 解：（1）f(x)?x3?ax2?x?1求导：f?(x)?3x2?2ax?1 当a2≤3时，?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增 即f(x)在????，??3?递增，???，?递减， ?33?????a?a2?3?，????递增 ?3?????a?a2?3（2）??3≤?23，且a2?3解得： a≥7???a?a2?314 （难度★★★） ?3≥?38、设a为实数，函数f?x??ex?2x?2a,x?R。 （Ⅰ）求f?x?的单调区间与极值； （Ⅱ）求证：当a?ln2?1且x?0时，ex?x2?2ax?1。 （难度★★）
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