设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
解法一：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1
－1， 5分
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． 9分
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1
－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1
－1，都有g(x)＜g(0)， 即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立． 综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分 解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． ……3分 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1
－1， ……6分
当x＞ ea－1
－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1
－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， 9分
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1
－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． 9、已知函数f?x??x2?2x?alnx?x?0?，f?x?的导函数是f'?x?，对任意两个不相等的
正数x1,x2，证明：
（Ⅰ）当a?0时，
f?x1??f?x2?2?f??x1?x2??2??
（Ⅱ）当a?4时，f'?x'1??f?x2??x1?x2
分析：本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、
推理论证的能力，满分14分。 证明：（Ⅰ）由f?x??x2?2x?alnx 得f?x1??f?x2?2?12?x2?x2?11?a12????x????lnx1?lnx2?
1x2?2 ?12?x21?x2x1?x22??xx?alnx1x2 122 f??x1?x2??x1?x2?4x?x?2?????2???x?aln121?x22 2 而12?x212x1?x2?1?x22??4???x21?x22??2x1x2????? ① ?2?? 又?x2?221?x2??x1?x2??2x1x2?4x1x2
∴
x1?x2x?4 ② 1x2x1?x2 ∵xx1?x2x?x21x2?2 ∴lnx1x2?ln12
∵a?0 ∴alnxx1?x21x2?aln2 ③ 由①、②、③得
12?x2?x2x?x?x?x?2412??12x?alnx1x2??12???alnx1x2 1x2?2?x1?x2即f?x1??f?x2??f??x1?x2?2?2?
?（Ⅱ）证法一：由f?x??x2?2x?alnx，得f'?x??2x?2ax2?x ∴f'?x?x???2a?2?x1?x2?a1??f'2????2x1?2x2?a???2x2?2???x1?x2?2?22? 1x1??x2x2?x1x2x1x2f'?x'2?x1?x2?1??f?x2??x1?x2?2?x22?a?1 1x2x1x2下面证明对任意两个不相等的正数x2?x1?x2?1,x2,有2?x22?a?1恒成立
1x2x1x2即证a?x2?x1?x2?1x2?x成立
1x2∵x2?x1?x2?1x2?x?x41x2? 1x2x1x2设t?x1x2,u?x??t2?4t?t?0?，则u'?x??2t?4t2 令u'?x??0得t?32，列表如下：
t ?0,32? 32 ?32,??? u'?t? _ 0 ? u?t? ] 极小值334 Z u?t??334?3108?4?a ∴x2?x1?x2?1x2?x?a
1x2∴对任意两个不相等的正数x1,x2，恒有f'?x1??f'?x2??x1?x2
证法二：由f?x??x2?2?alnx，得f'2ax?x??2x?x2?x ∴f'?x'1??f?x???2x2a??2?2x2a??x?x?2?2?x1?x2??1?x2????2?2??12?a
1x1??x2x2?x21x22x1x2∵x1,x2是两个不相等的正数 ∴2?2?x1?x2?4x2x2?a?2??a4312xx?2??41x2?xx1x2?1x2?x1x2?3x 12设t?1，xu?t??2?4t3?4t2?t?0? 1x2则u'?t??4t?3t?2?，列表：
t ??0,2??2??3? 3 ?2u'?t? _ ?3,????? 0 ? u?t? ] 极小值3827 Z ∴u?3827?1 即 2?2?x1?x2?ax22?x?1 1x2x12∴f'?x1??f'?x2???x?x2?2?x1?x2?a12?x22?x?x1?x2 1x21x2即对任意两个不相等的正数x1,x'2，恒有f?x1??f'?x2??x1?x2
已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设0 a?b2)<(b-a)ln2. 分析：本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合 推理论证的能力，满分14分. （Ⅰ）解：函数f(x)的定义域为(?1,??). f?(x)?11?x?1. 令 f?(x)?0,解得x?0. 当?1?x?0时,f?(x)?0, 当x?0时,f?(x)?0. 又f(0)?0, 故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值为0. （Ⅱ）证法一：g(a)?g(b)?2g(a?b2)?alna?blnb?(a?b)lna?b2 ?aln2a2ba?b?blna?b. 由（Ⅰ）结论知ln(1?x)?x?0(x??1,且x?0), 由题设 0?a?b,得b?a2a?0,?1?a?b2b?0, 因此 ln2ba?b??ln(1?b?ab?a2a)??2a, ln2ba?b??ln(1?a?b2b)??a?b2b, 所以 aln2a2bb?aa?a?b?blna?b??2?b2?0. 又2a?b?a?ba2b,aln2a2a?b?blnba?b?alna?b2b?bln2ba?b?(b?a)ln2ba?b?(b?a)ln2.综上 0?g(a)?g(b)?2g(a?b2)?(b?a)ln2. 证法二：g(x)?xlnx,g?(x)?lnx?1. 设F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x2), 则 F?(x)?g?(x)?2[g(a?x2)]??lnx?lna?x2. 当0?x?a时,F?(x)?0, 在此F(x)在(0,a)内为减函数. 当x?a时,F?(x)?0,因此F(x)在(a,??)上为增函数. 从而，当x?a时,F(x)有极小值F(a). 因此 F(a)?0,b?a,所以F(b)?0, 即 0?g(a)?g(b)?2g(a?b2). 设 G(x)?F(x)?(x?a)ln2, 则 G?(x)?lnx?lna?x2?ln2?lnx?ln(a?x). 当x?0时,C?(x)?0. 因此G(x)在(0,??)上为减函数. 因为 G(a)?0,b?a,所以G(b)?0, 即 g(a)?g(b)?2g(a?b2)?(b?a)ln2. 已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y?x?1． （Ⅰ）用a表示出b，c; （Ⅱ）若f(x)?lnx在?1,???上恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）证明：1+ 12+13+…+1n＞ln(n?1)+n2?n?1?）（n≥1）．
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