数字信号处理 习题+答案

第一章 数字信号处理概述简答题：

1． 在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤

波器，它们分别起什么作用？

答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：

2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，

自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然

后基于数字信号处理

理论，对信号进行等效的数字处理。（ ）

答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础

一、连续时间信号取样与取样定理

计算题：

1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从

x(t)到y(t)的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a）

如果

h(n)截止于?8rad,1T?10kHz，求

整个系统的截止频率。

（b）

对于

1T?20kHz，重复（a）的计算。

x?t?x?n?y?n?y?t?采样（T）h?n?D/A理想低通?c??T

解 （a）因为当???8rad时H(ej?)?0，在数 — 模

变换中

Y(ej?)?11TX(j?)?j?aTXa(T) 所以h(n)得截止频率

?c??8对应于模拟信号的角频率

?c为

??cT?8

因此

f?c1c?2??16T?625Hz 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为??T，因此对

8T没有

影响，故整个系统的截止频率由H(ej?)决定，是625Hz。

（b）采用同样的方法求得1T?20kHz，整个系统的截止频率

为

fc?116T?1250Hz

二、离散时间信号与系统频域分析

计算题：

1．设序列x(n)的傅氏变换为

X(ej?)，试求下列序列的傅里叶变换。 （1）

x(2n) （2）x*(n)（共轭）

解：（1）x(2n) 由序列傅氏变换公式 DTFT[x(n)]?X(ej?)???x(n)e?j?n

n???可以得到

DTFT

?[x(2n)]?x(2n)e?jn??x(n?)e?j?n?2

n????n?为偶数????1[x(n)?(?1)nx(n)]e?j?n2n???2?jn??j(???)n ?12n??x(n)e?1???2n??2x(n)e2??? j?j(??1X(e2)?1X(e2??)22)???12X(ej2)?X(?ej2)（2）

x*(n)（共轭）

解DTFT

：

解： （1）

x*(n)????j? （)x*(n)e?jn??[?x(n)ejn?]*?X* ( e?n????x(?n)e*??jwn?n????[x(?n)e2

??jw(?n)]*?X*(ejw)

）

n???n???

2．计算下列各信号的傅里叶变换。

（a）2nu[?n](1)nu[n?2] （b）4

（c）

?[4?2n]n(1)n （d）2

?解：（a）

X(?)?nu[?n]e?j?n??02ne?j?n

n?2???n??? ?n??(1ej?)?1

n?021?12ej?（

b

）

??X(?)?（1）nu[n?2]e?j?n?(1)ne?j?n n????4n???24? (1)m?2ej?(m?2)?16ej2???

m?041?1e?j?4（c）

??X(?)?e?j?n??[4?2n]e?j?n?e?j2?n?x[n]???n???? （

d

）

?X?(?)??（1）ne?j?n?[11n???21?1??1]e?j?1?1ej?22

利用频率微分特性，可得?

X(?)??jdX(?)d???1ej?111

2?e?j?(1?1ej?)22(1?12e?j?)223．序列x(n)的傅里叶变换为X(ejw)，求下列各序列的傅里叶变换。

（1）

x*(?n) （2）Re[x(n)] (3) nx(n)

????Re[x(n)]e?jwn?1[x(n)?x?(n)]e?jwn?1[X(ejw)?X?(e?jwn???n???22)] （3

）

??nx(n)e?jwn??n?n??1dx(n)e?jwn?jd?????jdwdw??x(n)e?jwn?jdX(ejw)n???dw

jw4．序列x(n)的傅里叶变换为

X(e)，求下列各序列的傅里叶变换。

?2 （1）x(n) （2）jIm[x(n)] (3)

x(n) 解：

（

1）

??x?(n)e?jwn?(n)e?j(?w)(?n)]???[?(e?jw)n????n?[x???n?x(n)e?j(?w)n]??X???

（2）

?1[x(n)?x?(?n)]e?jwn?1?[?jwn?n??x(n)e??x?(n)e?jwn]???22n???n?????1??X(ejw)?????x(n)e?j(?w)n??2?????n???????1X(ejw)?X?(e?jw2?)?

（3）

?2?(n)e?jwn????X(ej???j(w??n?x???n?????1?2???)d?n?x(n)e)n???????1?j?j(2????X(e)X(ew??))d?

?1?X(ej?)?X(ejw2)5．令x(n)和

X(ejw)表示一个序列及其傅立叶变换，利用X(ejw)表示下面各序列的傅立叶变换。

（1）

g(n)?x(2n)

（2）g(n)???x?n2?n为偶数 ?0n为奇数

解

：

（

1

）

?G(ejw)??jnw??(2n)e?jnw?k)e?jk2w

n??g(n)e???n?x???k??x(??k为偶数

??1x(k)?(?1)kx(k)??jke2wk?2????1???jkw??jkw222?x(k)e?1k???2x(k)(ej?)k?e???ww?1j21??jk(2??)2X(e)?2?x(k)e

k????1X(jw2j(w2??)?2e)?12X??e????1?jwjw?2?X(e2)?X(?e2)???（2

）

??G(ejw)?n)e?jnw??j2rw)e?jr2w?X(ej2w)n?g(???r??g(2r)e????r?x(r???

6．设序列x(n)傅立叶变换为

X(ejw)，求下列序列的傅立叶变换。 （1）

x(n?n0)

n0为任意实整数

（2）g(n)???x?n2?n为偶数 ?0n为奇数（3）

x(2n)

解：（1）X(ejw)?e?jwn0

（2） x(n2) n为偶数

g(n)?

?X(ej2w)

0 n为奇数 （3）x(2n)?X(ejw2)

7．计算下列各信号的傅立叶变换。

(12)n?u(n?3)?u(n?2)?（1）

18?n（2）cos(7)?sin(2n)

（3）x(n)????cos(?n?3)－1?n?4?0其它

??j2???()?u(n?3)?u(n?2)?eNkn【解】（1）X(k)1n2

n????12?2???()ne?j?Nkn??(1)ne?jNkn n??32n?22? ?8ej32?Nk?1e?j22Nk?j2?2?

1?1Nk42e1?1?jNk2e1j52?5?Nk2??8ej3Nk1?()e 21

1??j2?Nk2e（2）假定cos(18?n7)和sin(2n)的变换分别为X1(k)和

X2(k)，则

?X)??k????????(2?Nk?187??2k?)??(2?18?1(kNk?7??2k?)??

X???2?2??2(k)?j???(Nk?2?2k?)??(Nk?2?2k?)k??????

所以

X(k)?X1(k)?X2(k)

???k????????(2?Nk?187??2k?)??(2?Nk?187??2k?)?j?(2?Nk?2?2k?)?j?(?Nk?2?2k?)???4（3）

X(k)?cos??jn2?Nk

n???43ne4??2? ??1(ej3n?e?j3n)e?jnNk n??42

1j4(2???2?2???2??Nk?3)9j(3?Nk)n1j4(Nk?3)9j(3?N)2e?e?e

n?02?enn?0

j(??2?k)9j(??2??1ej4(2??Nk?3)1?e3N1j4(2?2?Nk)93Nk??3)1?e1?ej(?2?3?Nk)2e1?ej(?2?3?Nk)

8．求下列序列的时域离散傅里叶变换

x?(?n)， Re?x(n)?， x0(n)

?解：?x?(?n)??????x(?n)e?j?(?n)???X?(ej?)

??????

???Re?x(n)???1x(n)?x?(n)e?j?n?1X(ej?)?X?(e?j?)??Xe(ej?)????2??2?

??x0(n)e?j?1??e?j?n?jIm?X(ej???2???x(n)?x?(?n))???

三、离散时间系统系统函数

填空题：

1．设H(z)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（ ）。 解：由线性相位系统零点的特性可知，z?1的零点可单独出现，

z?0.8的零点需成对出现，z?1?j的零点需4个1组，所以

系统至少为7阶。 简答题：

2．何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数Hmin(Z)有何

特点？

解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式

?Mb?rrZ

H(Z)?P(Z)r?0Q(Z)?N，他的所有极点都应在

1??akkZ?k?1单位圆内，即?k?1。但零点可以位于

Z平面的任何地方。有

些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统G(Z)?1H(Z)也是稳定因果的。这就需要

H(Z)的零点也位于单位圆内，即

?r?1。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果

的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。 【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。

一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值H(ejw)唯一

确定。从ejw求H(Z)的过程如下：给定

ejw，先求ejw2，它

是cos(kw)的函数。然后，用1(Zk?Z?k2)替代cos(kw)，我们得到G(Z)?H(Z)H(Z?1)。最后，最小相位系统由单位

圆内的G(Z)的极、零点形成。

一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即

H(Z)?Hmin(Z)Hap(Z)

完成这个因式分解的过程如下：首先，把H(Z)的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数

Hmin(Z)是最小相位的。然后，选择全通滤波器Hap(Z)，把

与之对应的Hmin(Z)中的零点映射回单位圆外。

3．何谓全通系统？全通系统的系统函数

Hap(Z)有何特点？

解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap(Z)对应的傅里叶变换幅值

H(ejw)?1，该单位幅值的约束条件要求一个有理

系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即

?Mb?rZrNHZ)?P(Z)rap(Q(Z)??1??ak?Z?1????0kNk?11???1。因而，

kZ?kZk?1如果在Z??k处有一个极点，则在其共轭倒数点Z?1??处

k必须有一个零点。

4．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。

x?n?y?n?h?n?

?解：频率响应：H(ej?)??h(n)e?j?n

??? 系统函数：H(Z)??h(n)Z?n

?? 差分方程：Z?1??Y(Z)?X(Z) ???? 卷积关系：

y(n)??h(n)?x(n)

??第三章 离散傅立叶变换

一、离散傅立叶级数

计算题：

1．如果

~x(n)是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N

的周期序列。把

~x(n)看作周期为N的周期序列有

~x(n)?X~1(k)（周期为N）；把~x(n)看作周期为2N的周期序

~列有x(n)?X~~~2(k)（周期为2N）；试用X（1k）表示X（2k）。

N?1N?12?解： X~(k)??x(n)Wkn?jkn1~N??~x(n)eN

n?0n?0

2?N?1X~?j?k2N?12(k)?~N?12x(n)Wkn2N??~x(n)eN2n?n?0n?0?~x(n)e?j2?kN2nn?N

对后一项令n??n?N，则

N?1N?12?kX~??~x(n)e?j2?kn2(k)N2?n?0?~x(n??N)e?jN2(n??N)n??0

N?1?(1?e?jk?)?~x(n)e?j2?kN2n

n?0

?(1?e?jk?)X~(k2)?所以X(k)???2X~kk为偶数21() ?2 ?0k为奇数二、离散傅立叶变换定义 填空题

N?12．某DFT的表达式是X(l)??x(k)WklM，则变换后数字频

k?0域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。 解：2?M

N?13．某序列DFT的表达式是

X(l)??x(k)WklM，由此可看出，

k?0该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。 解：N

2?M

4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。 解：纯实数、偶对称

5．采样频率为F1sHz的数字系统中，系统函数表达式中z?代表

的物理意义是（ ），其中时域数字序列x(n)的序号

n代

表的样值实际位置是（ ）；x(n)的N点DFTX（k)中，

序号

k代表的样值实际位置又是（ ）。

解：延时一个采样周期T?1F，nT?nF，??k?2Nk 6．用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔

?f为_______,数字

角频率间隔?w为 _______和模拟角频率间隔?? ______。 解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s

判断说明题：

7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。 （ ） 解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。 计算题 8．令

X(k)表示N点的序列x(n)的N点离散傅里叶变换，X(k)本身也是一个N点的序列。如果计算

X(k)的离散傅里叶变换得到

一序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。

解

：

N?1x)??X(k)WnkN?1N?1N?N???k?0???x(n?)Wkn??nk1N?11(nNn??0??WN??x(n?)n??0?Wk(n?n?)Nk?0k?0 因为

?N?1Wk(n?n?)?Nn?n??NlN?? k?0?0其他所以