第二讲 判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性: 如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等. 我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用:
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题. 【例题求解】
【例1】 已知关于x的一元二次方程(1?2k)x2?2k?1x?1?0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 . (广西中考题)
思路点拨: 利用判别式建立关于k的不等式组，注意1?2k、k?1的隐含制约. 注: 运用判别式解题，需要注意的是:
(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；
(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识.
【例2】 已知三个关于y的方程: y2?y?a?0，(a?1)y2?2y?1?0和(a?2)y2?2y?1?0，若其中至少有两个方程有实根，则实数a的取值范围是( ) （山东省竞赛题）
A、a?2 B、a?11或1?x?2 C、a?1 D、?a?1 44思路点拨: “至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a的不等式组，综合判断
选择.
【例3】 已知关于x的方程x2?(k?2)x?2k?0，
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(1)求证: 无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边长a＝1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. (湖北省荆门市中考题)
思路点拨: 对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分b?c或b、c中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b、c的值.
注: （1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍.
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.
【例4】 设方程x2?ax?4，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根. (重庆市竞赛题)
思路点拨: 去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零.
【例5】已知: 如图，矩形ABCD中，AD＝a，DC＝b，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝x，问: 这样的点E是否存在?若存在， 这样的点E有几个?请说明理由. (云南省中考题)
思路点拨: 要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数.
注: 有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有:
(1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造.
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判别式——二次方程根的检测器学力训练
1、已知a?4?b?1?0，若方程kx2?ax?b?0有两个相等的实数根，则k= . 2、若关于x的方程x2?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 . (辽宁省中考题)
3、已知关于x方程x2?2k?4x?k?0有两个不相等的实数解，化简?k?2?k2?4k?4= .
4、若关于x的一元二次方程(m?2)2x2?(2m?1)x?1?0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A、m?3333 B、m? C、m?且m?2 D、m?且m??2 (山西省中考题)
44445、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B＝90°，那么关于x的方程a(x2?1)?2cx?b(x2?1)?0的根的情况为( )
A、有两个相等的实数根 B、没有实数根
C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题)
6、如果关于x的方程(m?2)x2?2(m?1)x?m?0只有一个实数根，那么方程mx2?(m?2)x?(4?m)?0的根的情况是( )
A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根
C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)
7、在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a?3，b和c是 关于x的方程x2?mx?2?m?0的两个实数根，求△ABC的周长. (济南市中考题)
8、已知关于x的方程x2?2(2?m)x?3?6m?0
(1)求证: 无论m取什么实数，方程总有实数根；
(2)如果方程的两实根分别为x1、x2，满足x1=3x2，求实数m的值. (盐城市中考题)
9、a、b为实数，关于x的方程x2?ax?b?2有三个不等的实数根.
(1)求证: a2?4b?8?0；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°； (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值. (江苏省苏州市中考题)
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10、关于的两个方程x2?4mx?2m?3?0，x2?(2m?1)x?m2?0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 . (2002年四川省竞赛题)
11、当a= ，b= 时，方程x2?2(1?a)x?(3a2?4ab?4b2?2)?0有实数根. (全国初中数学联赛试题)
12、若方程x2?5x?a有且只有相异二实根，则a的取值范围是 .
13、如果关于x的方程mx2?2(m?2)x?m?5?0没有实数根，那么关于x的方程
(m?5)x2?2(m?2)x?m?0的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定
14、已知一元二次方程x2?bx?c?0，且b、c可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A、12个 B、10个 C、7个 D、5个 (河南省中考题)
15、已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程ax2?(c2?a2?b2)x?b2?0，则方程根的情况是( ) A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题) 16、若a、b、c、d>0，证明: 在方程
121x?2a?bx?cd?0①；x2?2b?cx?ad?0②；22121x?2c?dx?ab?0③；x2?2d?ax?bc?0④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根. 22(湖北省黄冈市竞赛题)
17、已知三个实数a、b、c满足a?b?c?0，abc＝1，求证: a、b、c中至少有一个大于
18、关于x的方程kx2?(k?1)x?1?0有有理根，求整数是的值. (山东省竞赛题)
19、考虑方程(x2?10x?a)2?b①
(1)若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式.
(2)若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式?说明你的结论. (国家理科实验班招生试题)
20、如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求
b的取值范围. a3. 2 9
参考答案
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