2 0 0 5
年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷
、填空题
sinx ex的连续区间是 函数 2 x2(x 1)
1 2. lim
X 2
XX ■、. x 4)
(1)
3. X轴在空间中的直线方程是 (2)过原点且与 x轴垂直的平面方程是 1 (X 17 ,X 2e 2
(x 1)
4. 设函数f(x) a, bx 1,
(
,b 时，函数f (x)在点X 1处连续。
2
X r cos2 5.
设参数方程 r3 sin 2
y
dy
(1 )当r是常数, 是参数
dx 时，
r是参数时，则dy (2 )当是常数,
dx
二?选择题
f(x)在［a ,b］上连续可c 1. 设函数y
导, 取得极大值。
(A)当 a X c时, f'(x) 0，§ c
当0 ， § c (B)当 a X c时, f'(x)
(C)当 a
(D)当 a
2. 设函数y lim
h 0
3. 设函数f(x)
5.设级数
n
(A)发散 三.计算题
1 .求函数y
O
(a,b)，且 f '(c)
0 , 则当( 0, 0, 0, 0.
)时，f (x)在x c处
x qb 时，f' x b 时，f
(X) (X) (X) (X)
0，§ c x b 时，f
当
0，§ c x b 时，f X c时, f'(x) 当
f (x)在点 X X。处可导， 则
X c时, f'(x)
当
f (X0 3h) f (X0
2h) (
)。
h
X2
e ,
x2
X 0 X 0 ,则积分
1
0,
f x dx
(
)
。
an和级数
n 1
bn都发散，则级数
n 1
(a
n
b)
n
是(
(B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)可能发散或者可能收敛
(x2
X 1)X的导数。
2
2.求函数y
2x 1在区间(一1, 2)中的极大值，极小值。
3.求函数
f（x）
xe的n阶导数 ------
2x
dnf
4 .计算积分
5 .计算积分
。
dxn
12
x 3x 2
2 dx。
厂Jdx。
1 e
1
2 _ x .
6 .计算积分 x x
o 2edx。
8.把函数y
— 展开成x 1的幕级数，并求出它的收敛区间。
1
9.求二阶微分方程
d2y dx2
2dy y dx
2
x的通
解。
2
10.设a,b是两个向量，且 四?综合题 1 .计算积分 2.已知函数
0
，
b
.2n 1 sin
3,求 |a 2b|
a 2^2的值，其中忖表示向量a的模。
.2m xsi n1 ----------
2 2 -xdx，其中n,m是整数。
f(x) 4ax3 3bx2 2cx
其中常数 a,b, c, d 满足 a b c d
（1 ）证明函数f （x）在（0, 1）内至少有一个根，
（2）当3b2 8ac时，证明函数f（x）在（0, 1 ）内只有一个根。
2005年高数（一）答案（A）卷
一?填空题
1. 连续区间是（ 2.
,0) (0,1) (1,)
1 2
y
(1) 或者
1 0 z 0
4. a 0,b 1
3.
y 0
x
一，或者x t,y 0,z 0 （其中t是参数），（2） x 0
0
2
/(1八 5. ) ,
选择题 二 题号
答案
r x
y
(2)
3 y 2 x
1 B 2 D 3 B
4
5 D (3 分)
二.计算题。
2
1 ?解：令 In y xln(x x 1),
则 y'
[x(2x ° x x 1
in(x2 x 1)](x2 x 1)x
(7 分)
2?解：y 3x
II
4x x(3x 4)，驻点为 x1
0,x2
(2 分)
（法6x 4 , y
一） y\4 y(0) 1 （极大值）， 0,
“ 4、 4 5 + （极小值）. 4 0 y㈠ , y㈠ 3 3 27 （法二）
-1 (-1, 0) 0 正 0 递增 递减 -2 1
4
当x 0时，y 1 （极大值），当x 3时，y 利用莱 3.解: 布尼兹公式 n d f 2x
(5分)
，
(7 分)
2 正 递增 0 (5分)
5
27 （极小值）
(7 分)
dx
4.解:
n
[x 2nx n(n 1)]e
(7
分)
1
2 1
x
In x x 1
(X 1)(x 2)
In 4
3
dx
- —1 ]dx x 2 x 1
(7
1
(3
4
1
1
5?解:
e2x
1
dx
e
e
dx 2x
1 e e )
2x
2x 2x
(3
ln(1 2
6?解:
0
1
（其中
1
C是任意常数）
(7 分)
(x2 x 2)exdx = (x2 (2x 1)exdx
2)ex
0
(2x 1)exdx
(3 分)
=2-
0
=2- (3e
(7 分)
3e 2e 2 1
&解:
1 1[1
x 1] 2 (2
=（
n 0
（1)n 2*1 ， X 3).
2
1 0，特征值为
（二重
根），
2dy
(5分) (7 分)
2收敛区间为（ -
9.解：特征方程为1 ,
2dy y 0的通解是~ dx
齐次方程仝
dx2
c2x）ex，其中c1, c2是任意常数.
(3
dx
2
2dy
dx
y x的特解是y x 2,
(6分)
所以微分方程的通解是 y y ~ x 2
(
C1
C2X）ex，其中C1 ,C2是任意常
数
(7 分)
10.解:
=2(a
2
2b2 a 2b b )
2
2
=(a 2b) (a 2b) (a 2b)
(a 2b)
(3分) (7 分)
四?综合题： 1.解：(法一)
2n 1 sin 1 xdxs in — xdx =- 0 2 2 1 1 [ sin(n m 1)x
2 n m 1 _ =1 [cos(n m 1)x
2
(法二)当n m时 .2n 1 , . 2m 1 ,
-------- xdxs in -------- xdx = sin 0 2 2
1 1 =
26.
0
-[cos( n 2。 m 1)x
—1—sin(n n m
m)x] 1
2 ,
cos(n m)x]dx 0, n
(4分)
1]dx
(10 分)
1
m)x]当n m时 m 0
.2 2n sin 1 .2n 1 , . 2m 1 , xdx —— 0 2 ------- xdxs in --------- xdx sin
2 2
0
(10 分)
ax4 bx3 cx2 dx,
2?证明：(1)考虑函数F(X)
1)内可导， F(x)在［0,1］上连续，在(0, F(0)
(0,1)，使得 F'( ) 0，即 由罗尔定理知，存在
32
f( ) 0，就是 f( ) 4a 3b 2c F'()
f (x)在(0, 1)内至少有一个根. 所以函数
2
-[ ------------ sin(n m 1)x
2 n m 1
[cos( n m 1)x 2
0
cos(n m)x]dx
(4分)
Ls in(n
(7 分)
2°[1
cos(2 n
1 1)x]dx 2x。
F(1)
0,
(2 分)
F\ 6bx 2c 2
(2) f'(x) 因为3b 2
8ac,所以(6b) 4(12a)(2c) 36b 96ac 12(3b 8ac) 0,
f (x)函数f (x)在(0, 1)内只有一个根. f'(x)保持定号， (10 分)
2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷
、填空题 nnnn
lim .2 3 5 n 22
〕6x x8 (x 2. 函数f (x) 的间断点是
2x 3)(x 5)
丄(.1 x
x 3. 若 f(x)
A
2
设 y xln(x 、x 4.
(7
分)
、、1 x), x
0
在x 0处连续，则A
0
1)，贝y 业
dx
5.
2
2
(1
X3)cosxdx 1 sin x
dx
&微分方程鱼（2x 1）e\y的通解y 二?选择题
1 1.函数f（x）的定义域为 0,1 ,则函数f（x
5)
f （x丄）的定义域
（
当x 0时，与x不是等价无穷小量的是（ 5
x 2设 F(x)
0
f (t)dt ,0 ,其中
f(x)
x1,1
1
— 3门 3,0 F(x)
3 x ,0 F(x)
1
x, 1
x,
x(x 1)(2 x),(0 x 2)与
x轴所
图形的
2 0
x(x
1)(2 x)dx
5?设a,b为非零向量，且a b，则必有（ 三.计算题
x 3
计算lim( )
2 )
°x 1
x
x 6
2.
dy x[cos(ln x) sin(ln x)]dx
，求一°
3. 设函数 e cos t
2t 2 .
，求
? 2 . 2t sin t dy
°
e dx
4. 计算不定积分 1
sin xcos x .2 2 dx °
dx
5. 计算定积分 - ° x
e
d2y 6. 求微分方程 3dx 2y 2ex满足y 0的特
dx2
解。
3x 2y 0
7. 求过直线 1 2 0 ，且垂直于已知平面 x 2y 3z 5
2x 3y 2z 程。
8.
2
将函数f(x) In(x 3x 2）展开成x的幕级数，并指出收敛半径。
10.当a为何值时，抛物线 y x2与三直线x a,x a 1,y 0所围成的图形面积最小, 绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积。
论中正确
可表示为
0的平面方
求将此图形
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