四?综合题 1.
(本题8分)设函数f(t)在［0,1］上连续，且f(x) 1，证明方程：
x
2x q f(t)dt 1在(0,1)内有且仅有一实根。
(本题 7 分)证明：若 m 0,n 0,a 0，则
m n
2.
xm(a x)n
m n(m n)
3. (本题5分)设f(x)是连续函数，求证积分
f (sin x) f (cos x) 4
—dx —。
2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷.填空题
lim n 2
nn
3 5n 5。
2. 函数f (x)
(x276x~x2~8 2x 的间断点是x 3。
—
_
( 1 x x 3)(x 5) 0
3. 若 f (x) A 1 x), x 在x 0处连续，则A 1
0
4xln(x .x2 1)，则 dy .。设 y dx
-
。-------
x
3
x2 1
5.
2
(1 x )cosx 1 sin 2
x
dx 2
dy
&微分方程 (2x
1)e
x x y
的通解为y In(ex x
C)，其中x2 x
C为任意常数。
dx
二. 选择题
1
、C 2 D 3
三. 计算题
x 3 x 1
1 .计算lim( )2
x x 6 「。
解: lim( =
x lim(1
6)
x
又因为lim(1
尢)
x
3/X
_2_3X 6
V 2
am n
(A卷)答案
2
2- ，求矽。 2?设y x[cos(l n x) sin (I n x)] dx
1
[cos(l n x) sin (I n x[ sin (I nx)
— x)]
x
2cos In x
2t 2 ,
e cos t dy 3 ?设函数 2t .2 ，求丁。 e sin t dx
dx
解: dt 2e2 cos21 2e2 sint cost dy dt
o
1 cos(l
nx)—]
x
2e2t sin21 2e2t sint cost
dy
2e2 (cos21 si nt cost) (cos21 sin tcost) dt dy
(sin2t sin t cost) dx dx 2e2t (s in2t sin t cost)
dt
-2^——2-dx . 4 ?计算不定积分
xcos x
sin
?2 2 1 sin x cos x ‘ dx 解: dx . 2 sin xcos x 2-
sin xcos x
[亠 1 . ~2~ sin x
1
dx
x
5 ?计算定积分 e
x
1 dx_ 0 x x 解: 00. e e 0 1 e
1 d(ex)
dx 0x2
1 (e)
1
arcta ne arcta —。 nex
2dy 3业
解：微分方程
]dx cotx tanx C cos x
4
0,的特
解。
6 ?求微分方程仝
dx Jy
dx2
1,r2
x
2y 2e满足y dx
x
2y 2e对应的特征方程为 2
特征根为r1
而 1，所以ri 1为单根,
对应的齐次方程的通解为 非齐次方程的通解为
Y C1ex C2e2x
x
*
y Cxe代入原方程得C
有通解 y C1ex C2e2x 2xex 有dy
dxx o
o，yx。 1
2x
G C2 C1 2C2 2
1 0
G 0, C2 1
L L L 7 分
有解y
e 2xex
3x 2y z 1
7. 求过直线
2x 3y 2z 2 3x
，且垂直于已知平面 x 2y 3z 5 0 程。
0的平面方
2y z 1 0
的平面束方程为
解通过直线
2x 3y 2z 2 0
3x 2y z 1
(2x 3y 2z 2) 3 )y ( 1 2 )z ( 1 2 ) 3z 5 0垂
0 即
0
则必须
(3 2 )x (2
要求与平面 x 2y
直,
L L L 6 分 L L L 7 分
4 2
所求平面方程为
0 2
0
x 8y 5z 5
&将函数f(x) ln(x2 3x 2)展开成x的幕级数，并指出收敛半径。
解：f(x) ln(x 1)(x 2) ln(x 1)
ln( x 2)
= ln2 ln(1 x) ln(1 x)
2
a,x a 1,y
0所围成的图形面积最小，求将此图形
收敛半径R 1
10?当a为何值时，抛物线 y x2与三直线x
ln 2
J12n1
n 1
绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积。 解：设所围面积为 S(a)
S(a)
令 S'(a)
3 12
a
xdx (a 1) a 1
3 3
3
L 3分
2
1
S()S (a) 2 所以 2 为最小的面积
1
12 41 22 xdx 2 Vx 2 0 : ydx
80 5
四；综合题
1 ?设函数 f(t)在［0,1］上连f(x) 1，证明方程
续,
x
2x o f (t)dt 1在(0,1)内有且仅有一实根。
x
证明：令 F(x) 2x o f (t)dt 1 , 则在[0,1]上 F(x)连续, 1
F(0) 1 0,F(1) 2 o f(t)dt
由闭区间上连续函数的介值定理知道在 (0,1)内至少存在一点 C，
又因为F (x) 2 f (x) 1 0,所以 F(x)单调上升, F(x)
x
2x 0 f(t)dt 0,1内有且仅有一个实
根。
m n
使得F(C)
0在0,1内最多有一个根，所以
m n 2.证明：若m 0,n 0,a 0 ,则 xm (a x)n
、m
(m n n)
mn证明：令 x(a x) F(x)
m n 1 1mn(a [ m(a x) F (x) mx (a x) nx] nx (a x) x)
max ,(当 m,n m n 令 F (x) 0 0,x a，此时F (0) 1
时,
n 1 n 1 m n 2 m n
nan2a )n(n 1宀\、 m n m n 3 m n (m n)
ma
—)是 F (x)在 n 上的极大值，有唯一性定理知: 所以F(
LL L 2 分
x (a F(a)
m 1 z
x) [ma (m n)x] 0)
n 1
(
F(x) F( )
m
F(』^)是最大值，故
m n
m n
ma 、 m n m
m7a
m n (m n)
2 0
3?设f (x)是连续函数，求积分|
—dx的值。
f (sin x) f (cos x)
解：令x
t,dx dtp f (sin x) 0
f (sin x)
f (cos x)
dx
f (cos x)
2
1
2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)
一、填空题
1 .函数y
》试卷
lg x 2的疋义域是
2 .设y 5s点，则少
dx -----------------
。
3?极限 lim
xn J x2dx
。
4.积分 cot x dx
1 si nx
。
1 1
5 .设 y --------- :— ------ :—,贝卩 y
1 x 1 、x
(A) 若lim
a
n 1 1，则lim an存在,
n
6 .积分
0
an
■ x sin9 xdx sin7
l
。 ■
&微分方程
xdx x y
2
y y dy
3
0的通解
。
二.选择题
1.设 f X
3 x 1 3x2
1 sin --- x 1 x 1 ，则x 1是f 2l nx x 1
(C)无穷间断点
x 的(
)。
(A)连续点 (B)跳跃间断点
2.下列结论中正确的是( )。
(D)振荡间断点
(B) (C)
n
o lim an 1
若 lim an A，则 lim - 1,
n
an lim an
n
n
若 lim an
n
A, lim bn
n
B，则 lim (an)b AB,
n
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