初中数学竞赛公益讲座：全等三角形
一、基础知识：
1）全等三角形的定义和判定定理。本质是通过平移、旋转和反射能够重合 的两个三角形。
2）全等三角形的性质：对应边、对应角相等；对应边上的中线和高相等， 对应角的角平分线相等
3） 全等三角形是解决线段、角等问题的一个出发点。线段相等、线段的 和差倍分关系、角的关系、两直线的位置关系等问题的证明经常需要转化为证 两个三角形全等。
4）在寻找全等的条件时，有时经常需要添加辅助线，辅助线的添加可由图 形特征及已知条件而决定，需要一定的分析和联想能力。
二、例题分析
例 1、对如下四个命题，请证明或举出反例：
1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
3）三角形 6 个边、角元素中，有 5 个元素分别相等的两个三角形全等
4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等
例 2、如图，AD、CF、BE 都垂直于 AB，AC=BE， BC=AD，AB=CF，试找出∠DFE 和∠AFB 大小之间的 关系，并证明之。
例 3、三角形 ABC 中，∠B 为直角，M 为 AB 上的一点且 AM=BC，N 为 BC 上的 一点且 CN=BM，连接 AM、CN 交于点 P，求证：∠APM=45 度。
例 4、已知由三角形 ABC 向外做正方形 ACDE、BCHJ、ABIF，点 K、L、X 分别 是 DH、IJ、JH 中点，求证：AX=LK，AX⊥LK（文武光华数学工作室命题）
例 5、在三角形 ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，三角形 ABD、ACE、BCF 都是 等边三角形，求四边形 AEFD 的面积。
例 6、四边形 ABCD 中，M 是 AB 的中点，且 MC=MD，过点 C、D 分别作 BC、 AD 的垂线，两条垂线交于点 P，作 PQ⊥AB 于点 Q，求证：∠PQC=∠PQD
三、练习题
1、如下左图，已知 AC?BD，EA、EB 分别平分∠CAB、∠DBA，E 在 CD 上，
求证：AB=AC+BD
2、如上右图在四边形 ABCD 中，∠ACB=∠BAD=105 度，∠ABC=∠ADC=45 度，求证：CD=AB。
3、如下左图，AD 和 BC 交于点 E，AB=AD，∠BAE=∠CAE，∠ACB=80 度，
∠BCD=20 度，求∠AEB 的大小。
4、如上右图，在梯形 ABCD 中，AB?CD，以 AD，BC 为边分别作正方形 ADEF、BCGH，I 为 EG 的中点，证明： ID=IC。
5、如右图，以任意四边形 ABCD 的四条 边为边向外作四个正方形 ABHG、BCJI、 CDLK、ADEF，四个正方形的中心分别为 N、O、P、M，连接 NP 和 OM，求证： NP⊥OM 且 NP=OM
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