2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题）
1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}?n?N?满足：a2a4?a5,a3?4a2?4a4?0，求证:数列{an}为
*“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足: b1?1,①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}?n?N? ，对任意正整数k ， 当k≤m*122??Snbnbn?1，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
时，都有ck?bk?ck?1成立，求m的最大值．
【答案】 （1）解：设等比数列{an}的公比为q ， 所以a1≠0，q≠0. 由 因此数列
，得 为“M—数列”.
，所以 ． ，则
，
，得
，
.
，解得
．
（2）解：①因为 由 由 当 整理得
得 ，得 时，由
．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n . ②由①知，bk=k ，
.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q ， 所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1 ， 所以 ，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有 ． 设f（x）=
，则 ．
令 ，得x=e.列表如下：
x f（x） 因为 取
+ e 0 极大值 (e，+∞) – ．
，
，所以
，当k=1，2，3，4，5时， ，即
经检验知 也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q ， 且q≤6，从而q≥243，且q≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{an}为“M－数列”。（2）①利用 与 的关系式结合已知条件得出数列
为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列
的通项
3
5
15
15
公式。②由①知，bk=k ， .因为数列{cn}为“M–数列”，设公
比为q ， 所以c1=1，q>0，因为ck≤bk≤ck+1 ， 所以 ，其中k=1，2，3，…，
m ， 再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。
2.（2019?上海）已知等差数列?an?的公差d??0,??，数列?bn?满足bn?sin?an?，集合S??x|x?bn,n?N?．
*（1）若a1?0,d?（2）若a1??22?，求集合S； 3，求d使得集合S恰好有两个元素；
（3）若集合S恰好有三个元素：bn?T?bn，T是不超过7的正整数，求 T的所有可能的值．
【答案】 （1）解： 等差数列 集合 ． 当 ， 集合 （2）解： 图：
根据三角函数线，①等差数列 好有两个元素，此时
，
的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰
． ，数列
满足
，集合 恰好有两个元素，如
的公差 ，数列
满足
，
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，如图 ， ， 此时 综上，
， 或者
．
，集合
，符合题意．
， ，或者 ，又
，
（3）解：①当 ②当
时，
时，
，
等差数列 的公差 ，故 ，
当 ③当
时满足条件，此时 时，
．
，
．
， ，或者
，
因为 ，故 当 ④当
时， 满足题意． 时，
，
， ，故 ，满足题意． ，
，所以 ，或者 ， ．
所以 或者 当 ⑤当
时， 时，
， ， ，故
当
时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然
，
，不符合条件．
有 ， ， 当
时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然
不是整数，不符合条件．
有 ， ， 当
时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然
， ，或者 ，此时，
．
均不是整数，不符合题意．
有 或者 综上，
【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，等差数列的通项公式 【解析】【分析】（1） 等差数列
的公差 ，数列
满足
，
集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列求解方法求出数列
的通项公式和正弦值的
的通项公式，从而求出当 时的集合S.
时，利用数列
满足
， 用等差数列
的通项
(2)当等差数列首项
的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列
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