（理）专升本和高起本下学期
《高等数学》课程学习指导资料
本课程学习指导资料根据该课程教学大纲的要求，参照现行采用教材《高等数学》（下）(傅英定，钟守铭，电子科技大学出版社，2007年2月)以及课程学习光盘，并结合远程网络业余教育的教学特点和教学规律进行编写，适用于工科类各专业本科下学期学生。
第一部分 课程的学习目的及总体要求
一、课程的学习目的
《高等数学》是大学理、工、医、农、经、管类的一门十分重要的公共基础课。数学是研究现实中数量关系与空间形式的科学，是自然科学的基础和当代技术发展的源泉。当代科学技术的发展对数学知识的需求越来越广、越来越紧密，在高等理工科院校培养高素质人才的过程中，《高等数学》是一门必备的基础理论课程。在本课程的学习中，要使学生获得必要的高等数学知识，掌握基本理论，还要在数学的抽象性、逻辑性和严密性方面受到必要的熏陶和训练，掌握数学的思想方法，提高数学素养。具有良好的数学基础才能学好专业知识，才能有掌握现代科学技术、从事科学研究的基本能力。
二、课程的总体要求
本课程的主要内容为：空间解析几何；多元函数微分学及其应用；多元函数积分学及其应用；无穷级数。学习本课程要具有一元函数微积分学的基础。从一元到多元是数学研究的自然发展也是数学揭示自然规律、解决实际问题的客观需要。学习本课程要掌握其主要内容，理解基本概念和基本理论，学会分析问题解决问题的基本方法；了解各部分知识的结构及知识的内在联系；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷、熟练地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
要学好本课程，除了课堂上的学习和训练之外，还需要课后及时复习巩固、结合教学内容做一定数量的习题。这是学习中十分重要的环节。只有通过练习才能达到对其概念、定理、法则的理解和认识，才能掌握所学的知识。
第二部分 课程学习的基本要求及重点难点内容分析
第七章 向量代数与空间解析几何
一、本章学习要求
1. 理解向量的概念，会求向量的模、方向余弦。 2. 了解向量在轴上的投影。
3. 掌握向量的线性运算、向量的数量积以及向量积。 4. 掌握平面的点法式方程、一般式方程。了解截距式方程。 5. 会求点到平面的距离、平面与平面的夹角。
6. 了解直线的一般式方程，掌握标准式方程、参数式方程。 7. 会求直线与直线、直线与平面的夹角。
8. 了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转曲面、椭球面、抛物面、和双曲面的方程及其图形。
9. 了解曲线的一般式与参数式方程，会求曲线在坐标面上的投影曲线。
二、本章重点难点分析
1. 重点：
（1）向量的概念，向量的模、方向余弦的计算。 （2）向量的运算(线性运算,数量积,向量积)。 （3）两向量垂直,平行的充分必要条件。
（4）平面的点法式方程与一般式方程、直线的标准式方程与参数式方程。 （5）二次曲面的标准方程及其图形特征。 2．难点：
（1）向量在轴上的投影及相关性质。 （2）向量积的概念及性质。
（3）空间图形的描绘、空间想象能力的培养。
三、本章典型例题分析
例题1 设OA与三坐标轴的夹角相等，且|OA|?3，点B是点M(1,?3,2)关于点N(?1,2,1)的
求AB.。 对称点，分析 需先求出 A、B 点的坐标. A点坐标可由OA的坐标形式得到，B点坐标可由M、N点
得到.
解 设OA?3{cos?,cos?,cos?}， 由OA与三坐标轴的夹角相等，得
cos??cos??cos?,又cos2??cos2??cos2??1
3设B点的坐标为(x,y,z)，由题意知N是MB的中点，则
?cos??cos??cos???1?OA??{111，，}，
1?x?3?y2?z,2?,1? 222?x??3,y?7,z?0.?OB?{?3,7,0} ?1?(1) 若 OA?{111，，},(2) 若 OA??{1,1,1},则AB?OB?OA?{?3,7,0}?{1,1,1}?{?4,6,?1}; 则AB?OB?OA?{?3,7,0}?{1,1,1}?{?2,8,1}.
例题2 已知a?{1,1,?4}，b?{1,?2,2}.求:(1)a?b; (2)a与b的夹角；(3) a在b上的投影. 解 (1)a?b?1?1?1?(?2)?(?4)?2??9.
(2)cos??a1b1?a2b2?a3b3a1?a2?a3222b1?b2?b3222??12， ??3?. 41(3)Prjba?a?b0?{1,1,?4}?{1,?2,2}??3.
3例题3 设点 A 位于第一卦限,
向径OA与 x 轴 y 轴的夹角依次为?,?,且OA?6.
34（1）求点 A 的坐标；（2）已知点B是点A关于xoy面的对称点, 求OA?OB.
分析 求出向径OA的坐标形式就可得到点A的坐标，从而得到点B的坐标，再作向量积计算OA?OB.
,???,则cos2??1?cos2??cos2??1?(1)2?(2)2?1 解 已知???344221121因点 A 在第一卦限 ,故cos??,于是OA?OAOA?6{,,}?{3,32,3}
2222故点 A 的坐标为 (3,32,3).
（2）由于点B是点A关于xoy面的对称点, 则点 B 的坐标为 (3,32,?3).
iOA?OB?33j3232k3?3??182i?18j.
例题4 求过点M0(-1,3,2)且与平面 2x - y + 3z - 4 = 0和x + 2y +2z -1=0 都垂直的平面? 的方程.
分析 只需求出平面? 的法向量. 该法向量应该垂直于两已知平面的法向量，从而可取两已知平面的法向量的向量积.
解 两个已知平面的法向量为 n1?{2,?1,3},n2?{1,2,2}, 故平面? 的法向量为
ijkn?n1?n2?2?13??8i?j?5k
122平面?的方程为
-8(x +1) - (y - 3) +5(z -2) =0,
即 8x + y - 5z +15 =0.
x?2yz例题5 求过点A(1,0,-5), 垂直于直线??，且与平面?:7x?5y?3z?2?0平行
1?12的直线方程.
分析 需先求出直线的方向向量.该方向向量要垂直于已知直线及平面?的法向量. 解 已知直线方向向量s?{1,?1,2}，， 平面?的法向量. n?{7,?5,3},
所求直线方向向量
ijk s1?s?n?1?12?{7,11,2}
7?53所求直线方程为
x?1yz?5 ??7112?2x?z?0例题6 设一平面平行于已知直线l:?，且垂直于平面?1:7x?y?4z?3?0,x?y?z?5?0?求该平面与平面?2:2x?z?0的夹角.
分析 两平面的夹角要用两平面的法向量来计算，所以需要先计算未知平面的法向量. 解 平面?1的法向量: n1?{7,?1,4} 直线 l 的方向向量:
ijks?20?1?{1,1,2}
11?1取所求平面的法向量
in?s?n1?1j1k2?2{3,5,?4}.
7?14?2:2x?z?0的法向量 n2?{2,0?,设所求平面与?2的夹角为?，则
cos?? 1}|n?n2||3?2?5?0?(?4)?(?1)|10?? 22222|n|?|n2|53?5?(?4)2?(?1)???arccos10. 5?y2?x绕x轴旋转一周所生成的曲面方程，例题7 求曲线?说出该曲面的名称, 求该曲面与平z?0?面x?2y?z?0的交线在xoy平面上的投影曲线.
解 绕x轴旋转一周所生成的曲面方程为
y2?z2?x
该曲面是旋转抛物面.
?y2?z2?x由?消去z得:x2?4xy?5y2?x ?x?2y?z?0交线在xoy平面的投影曲线为
?x2?4xy?5y2?x. ?z?0?
四、本章作业
习题7-1 A: 2. 3. 4. B: 2. 3.
习题7-2 A: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. B: 1. 2. 6. 习题7-3 A: 1. 2. 4. 5. 6. B: 1. 2. 4. 习题7-4 A: 2. 3. 6. 7. 9. B: 5. 习题7-5 A: 1. 2. 3. 5. B: 3. 习题7-6 A: 1. 2. B: 2.
第七章复习题 7. 9. 10. 12. 13. 14. 15. 16.
第八章 多元函数的微分法及其应用
一、本章学习要求
1.理解多元函数的概念。
2了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 4.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 5.会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。 6.了解曲线的切线和法平面、曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。 7.了解方向导数和梯度的概念及其计算方法。
8．理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
二、本章重点难点分析
1. 重点：
（1）偏导数与全微分的概念及计算。
（2）多元复合函数的求导法则，隐函数的求导法。
（3）多元函数极值的概念，二元函数的无条件极值与多元函数的条件极值问题。 （4）空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。 2.难点： （1）二重极限。
（2）方向导数与全微分的概念。
（3）多元复合函数的求导法则，一阶微分形式的不变性。
（4）多元复合函数的高阶偏导数。 （5）由方程组所确定的隐函数的求导法。
三、本章典型例题分析
sin(x2y). 例题1求极限lim2x?0x?y2y?0分析 这是计算.
0型的未定式，但不能用洛必塔法则. 可作变量代换，借助于一元函数的极限来0sin(x2y)sin(x2y)x2y?lim?2, 解 lim222x?0x?y2x?0xyx?yy?0y?0其中
sin(x2y)sinulim?lim?1,2x?0u?0uxyy?0(令x2y?u).
x2y1x?0?x????0, 22x?y2x2y?lim2?0. x?0x?y2y?0sin(x2y)sin(x2y)x2y?lim2?lim?lim2?1?0?0. 2x?0x?y2x?0x?0x?y2xyy?0y?0y?0?xy,x2?y2?0?22例题2讨论函数f(x,y)??x?y在点(0,0)的连续性．
?0,x2?y2?0?分析 只需验证f(x,y)在点(0,0)的极限值是否等于其函数值. 解 取点P(x , y)沿直线 y = k x 趋于点(0, 0), 则有
kx2klimf(x,y)?lim2? 2x?0x?0x?k2x21?ky?kxk 值不同极限不同. 故f(x,y)在 (0,0) 点极限不存在. 故函数在该点不连续．
?xy,(x,y)?(0,0)22例题3 设f(x,y)??x?y,求f(x,y)的偏导数. ??0,(x,y)?(0,0)?,(0,0)点是分段点，该点处的偏导数要用定义.分析. 需按(x,y)?(0,0)与(x,y)?(0,0)分别计算做计算.
证明 当(x,y)?(0,0)时,
y(x2?y2)?2x?xyy(y2?x2)fx(x,y)??2,
(x2?y2)2(x?y2)2x(x2?y2)?2y?xyx(x2?y2)fy(x,y)??2,
(x2?y2)2(x?y2)2当(x,y)?(0,0)时,按定义可知：
fx(0,0)?limfy(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)0?lim?0, ?x?0?x?xf(0,?y)?f(0,0)0?lim?0, ?y?0?y?y?x(x2?y2)(x,y)?(0,0)?fy(x,y)??(x2?y2)2.
?0(x,y)?(0,0)??y?0?y(y2?x2)(x,y)?(0,0)??fx(x,y)??(x2?y2)2,?0(x,y)?(0,0)?例题4求函数z?ycos(x?2y)，当x?解
?4,y??,dx??4,dy??时的全微分.
?z?z??ysin(x?2y)，?cos(x?2y)?2ysin(x?2y)
?y?x则 dz??ysin(x?2y)dx?[cos(x?2y)?2ysin(x?2y)]dy 将x??4,y??,dx??4,dy??代入上式得：
dz?2?(4?7?). 8?u?u,. ?x?y例题5 设u?f(x,y,z)?ex2?y2?z2,z?x2siny,求分析 这是复合函数的求导问题，复合函数求导要弄清函数的复合关系，按链式法则求导. 解
222222?u?f?f?z????2xex?y?z?2zex?y?z?2xsiny ?x?x?z?x2?2x(1?2x2sin2y)ex?y2?x4sin2y
222222?u?f?f?z????2yex?y?z?2zex?y?z?x2cosy ?y?y?z?y2?2(y?x4sinycosy)ex3?y2?x4sin2y
y?z?2z?2z,,. 例题6设z?xf(xy,),(f具有二阶连续偏导数)，求x?y?y2?x?y分析 这是复合函数的求导，将u?xy,v?解
?z1?x3(f1x?f2) ?yxy作为一、二两个中间变量按链式法则求导. x?2z11?x4(f11x?f12)?x2(f21x?f22)?x5f11?2x3f12?xf22, 2?yxx?2z?2z???(x4f1?x2f2) ?x?y?y?x?x?4x3f1?x4[f11y?f12(?yy2)]?2xf?x[fy?f(?)] 2212222xx?4x3f1?2xf2?x4yf11?yf22
例题7 设f(x,y,z)?xy2z3，其中y?y(x,z)是由方程x2?y2?z2?3xyz?0所确定的隐函数，
求?f?x(1,1,1).
分析 由于y为x，z的函数，按复合函数的求导法则x2?y2?z2?3xyz?0按隐函数求导法则求出
?f?y?y2z3?2xyz3，再由方程?x?x?y代入上式即可。 也可将f, y视为x，z的函数，?x由方程组确定的隐函数的求导法则来计算. 解法一 令F(x,y,z)?x2?y2?z2?3xyz
则F?y2x?3yz?y??x??, ?xFy2y?3xz?x(1,1,1)??1
?f?y?f?y2z3?2xyz3，?x?x?x(1,1,1)??1.
?f(x,y,z)?xy2z3?确定了f , y为 x, z 的函数，方程组两边对x解法二 由题意方程组?222x?y?z?3xyz?0??求导得
233??fx?yz?2xyyxz ?2x?2yy?3yz?3xyz?0?xx?将点（1,1,1）代入得
?fx?1?2yx ??1?y?0x?解方程组得
fx(1,1,1)??1.
例题8求曲面z?ez?2xy?3在点?1,2,0?的切平面与法线方程。 分析 先求出曲面在点?1,2,0?的法向量，就可得到其切平面与法线方程. 解法 令F(x,y,z)?z?ez?2xy?3，则
Fx(1,2,0)?2y(1,2,0)?4,Fy(1,2,0)?2x(1,2,0)?2,Fz(1,2,0)?1?ez(1,2,0)?0,
得曲面z?ez?2xy?3在点?1,2,0?的法向量
n??4,2,0?
切平面方程
4(x?1)?2(y?2)?0?(z?0)?0
即 2x?y?4?0. 法线方程
x?1y?2z?0. ??210例题9 设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,求函数6x2?8y2在点P 处沿方向n的方向导数. u?z分析 需先求n的表达式，计算其方向余弦，再按方向导数的公式计算. 解 n?{4x,6y,2z}P?2{2,3,1}，方向余弦为 cos???u?x6xz6x?8y22P214614,cos??314,cos??114
而 同理得
?P? ?u?y??u?n?P814,?u?z??14 P?P111?6?2?8?3?14?1??. 147例题10求函数f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值.
2??fx(x,y)?3x?6x?9?0解 解方程组 ? 2??fy(x,y)??3y?6y?0得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 求二阶偏导数
fxx(x,y)?6x?6,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)??6y?6
在点(1,0)处
A?fxx(1,0)?12,B?fxy(1,0)?0,C?fyy(1,0)?6，
B2?AC??12?6?0,A?0,?f(1,0)??5为极小值;
在点(1,2)处 A?12,B?0,C??，6B2?AC??12?(?6)?0,?f(1,2)不是极值; (?12)?6?0,?f在点(?3,0)处 A??12,B?0,C?B62,?AC??(?不是极值；3,0)
(?12)?(?6)?A0,??0f,(?3,2)在点(?3,2)处 A??12,B?0,C??B62?AC??? 31为极大值.
四、本章作业
习题8-1 A: 1. 3. 4. 6(1),(3),(5). 7. 8. B: 1. 习题 8-2 A: 1(单号). 2. 4. 6. 8. B: 1. 习题 8-3 A: 1(双号). 2. 3. B: 3.
习题 8-4 A: 1. 2(2),(4). 3(1),(3),(5). 4(1),(3),(6). B: 1(1),(3). 习题 8-5 A: 1. 2. 3. 4(3),(4).5. 6. 7. B: 2(3). 习题 8-6 A: 2. 3. 4. 8. 9. 习题 8-7 A: 1. 3. B: 1. 2. 3.
习题 8-8 A: 1(1),(3). 2. 5. 7. B: 2. 3. 第八章复习题 1. 3. 4. 6. 8. 9. 11. 12.
第九章 多元函数积分学及其应用
一、 本章学习要求
1．理解二重积分、三重积分的概念与性质。
2. 掌握二重积分的计算法（直角坐标与极坐标）；掌握三重积分的计算法（直角坐标、柱坐标与球坐标）。
3．掌握二重积分的简单应用。
4．了解对坐标的曲线积分的概念与性质。 5．掌握对坐标的曲线积分的计算。
6. 掌握格林(Gneen)公式。会用曲线积分与路径无关的条件。
二、本章重点难点分析
1. 重点：
（1）二重积分的概念与计算（直角坐标与极坐标）。 （2）三重积分的概念与计算（直角坐标、柱坐标与球坐标）。 （3）对坐标的曲线积分的概念与计算。
（4）格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。 2.难点：
（1）二次积分的换序；二重积分的几何与物理应用。 （2）三重积分的定限。
（3）对坐标的曲线积分的概念、格林公式。
三、本章典型例题分析
例题1 计算??xy2d?,其中D由y?x与y?x2所围成.
D分析 计算二重积分需要将积分区域用不等式表示（X型，Y型），以确定积分限. 解 D既是X型，又是Y型. (1) 先对 y 积分, 则
?x2?y?x,D:?
0?x?1.?1x1?1111223?36 xydxdy?dxxydy?xydx?xx?xdx???2???????20?300x340??y?xDy?x
(2) 先对 x 积分，则
??y?x?y, D:???0?y?1.??xyD2dxdy??dy?01yy1121?12?xydx??y?x?dy??y?y?y2?dy?.
02040?2?x?y212x?y例题2计算??xyd?,其中D 是抛物线y2?x及直线y?x?2所围成的闭区域.
D分析 根据积分区域的特点先对 x 后对 y 积分，积分区域无须分块，积分较为简便. 解 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
?y2?x?y?2D:?
?1?y?2?
???Dxyd???dy??12y?2y2?1?xydx???x2y??1?2?2y?2dy?y212[y(y?2)2?y5]dy ??121y4431???y?2y2?y62436例题3 计算??1?245 8?10dy?e?xdx.
y212分析 由于积分?e?xdx无法用初等函数表示出来，所以应该先对 y 积分. 解 所给积分确定的积分区域为 ?y?x?1,?0?y?x,D:??D:?.
0?y?1.0?x?1.???
10dy?e?xdx??dx?e?xdy??xe?xdx?y000121x2121?1?e?. 2例题4计算二重积分
??DR2?x2?y2d?，其中D 为圆周x2?y2?Rx所围成的闭区域.
分析 积分区域为圆形区域，被积函数为f(x2?y2)形式，选用极坐标计算较简便. 解 利用极坐标
?0?r?Rcos??D:?????????22? .
23?14rR?rdr?R?2(1?sin3?)d??R3(??).
033322原式???d??2?2Rcos?0例题5 计算三重积分???成.
dxdydz，其中?由抛物面x2?y2?4z,与平面z?h(h?0)所围22?1?x?y分析 积分区域由旋转曲面所围成，被积函数为f(x2?y2)形式，选用柱坐标计算较简便. 解 在柱面坐标系下.
?r2??z?h4???:?0?r?2h?0???2????
原式 =?d??02?20hh2r2dz?2?drr?01?r2?4hrr2?(h?)dr?[(1?4h)ln(1?4h)?4h] 1?r244例题6 计算I????(x2?y2)dxdydz，其中?:x2?y2?(z?a)2?a2,z?x2?y2.
?分析 积分区域由锥面和球面围成，积分选用球坐标较为简单. 解 在球坐标中，球面 x2?y2?(z?a)2?a2的方程为??2acos?, 锥面z?x2?y2的方程为???4,
?0???2acos?????:?0???
4???0???2??
I????(x?y)dxdydz??d??d??4222??2acos?000?4sin3?d?
例题7 计算?L32a5?115534?2??cos?sin?d???a
5?030xydx，其中L为沿抛物线y2?x从A(1,?1)到B(1,1)的一段.
解法一 取 x 为参数, L?AO?OB
AO:y??x,(x:1?0);
OB:y?x,(x:0?1)
.
?xydx??xydx??xydx
LAOOB
??x(?x)dx??xxdx?2?xdx?100011324 5解法二 取 y 为参数, L:x?y2,(y:?1?1).
114224?xydx?yy(y)dy?2ydy?. ?L??1??15例题8计算??exsiny?3y?x2?dx?e(xcosy?x)yd其中，L 是从点A(R, 0)沿上半圆周
Lx2?y2?R2到点C(-R,0)的有向曲线弧.
分析 直接作曲线积分比较困难，可添加辅助线利用格林公式. 解 添加辅助线 CA: y = 0 ( x :-R.
R )
则?L?CA????LCA,????LL?CA??CA
由格林公式
??Q?P?1xx2????dxdy?ecosy?1?ecosy?3dxdy?2dxdy?2??R. ???????L?CA?????????x?y2?D?DD又
2esiny?3y?xdx?(ecosy?x)dy?0?0?xdx?R. ??????3x2xR23CA?R?
???LL?CA??CA2??R2?R3.
3四、本章作业
习题９-1 A:２(1),(3). 3. 4(1),(2). B: 1(1).
习题 9-2 A: 2(双号). ３(单号). ４(单号).５(单号).６. 习题 9-3 A: １(1),(3). ２(1),(2). 3. 4(1).
习题 9-4 A: 1(2),(3),2(1),(2),(4). 3(1),(3). 4. 5. 习题 9-5 A:1(单号). 2. 3. 4. B: 2.
习题 9-6 A:1(2),(3),(4). 2(2). 3(2),(3). 4. 5.
第九章复习题 1(1),(3). 2(3),(4). 3. 4. 6. 8. 9. 10(2),(3). 11. 12. 13. 14. 15(2),(3). 16(3),(4).
第十章 无穷级数
一、 本章学习要求
1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2.掌握几何级数和P级数的收敛性。
3.掌握正项级数的比值审敛法，了解正项级数的比较审敛法及根值审敛法。 4.掌握交错级数的莱布尼兹定理。
5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7.掌握幂级数收敛区间的求法。
8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数的和函数。 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10.会利用e、sinx、cosx、ln(1+x)和幂级数。
11.了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在[-π,π]的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在[0,π]的函数展开为正弦或余弦级数。
x
1的麦克劳林展开式将一些简单函数间接展开成1?x二、本章重点难点分析
1. 重点：
（1）无穷级数收敛、发散以及和的概念。
（2）正项级数的比较审敛法与比值审敛法，交错级数的莱不尼兹准则。 （3）幂级数的收敛区间，幂级数的和函数与函数的幂级数展开。 （4）函数展开为傅里叶级数。 2. 难点：
（1）正项级数的比较审敛法。
（2）幂级数的和函数与函数的幂级数展开。 （3）傅里叶级数。
三、本章典型例题分析
例题1 设limnan?a,?n(an?an?1)?b,则级数?an?n??n?1n?1??.
分析 根据已知条件只需考察级数?an的部分和的极限.
n?1?解 记级数?n(an?an?1)的前n项和为Sn,则
n?1?Sn??k(ak?ak?1)?1(a1?a0)?2(a2?a1)?k?1n?n(an?an?1)?nan?(a0?a1??an?1)
则级数?an的前n项和为
n?1??n??ak?nan?a0?an?Sn?a?a0?0?b(n??)
k?1n??an?lim?n?a?b?a0.
n?1n???例题2判断级数?n!的敛散性. nn?110?分析 可用比值判敛法判定. 解 an?
n! 10n
an?1(n?1)!10nn?1?????(n??), an10n?1n!10故级数?10n?1?n!n发散. ncos22nn?3的敛散性.
例题3 判断级数?n?1?分析 这是正项级数，用比值判敛法极限不存在，可用比较判敛法.
ncos2n?3?n, 令b?n,
n2n2n2n解 an??bn?1n?12nn?11nlim?limn?1??lim??1, ??n收敛, n???bn???2nn???2n2n?12n根据比较判别法，原级数收敛．
(?1)n的敛散性，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？例题4讨论级数?
n?lnnn?1?分析 这是交错级数，可用莱布尼茨定理判定. 解 原式??n?1?11?,n?lnnn而?nn?1?1发散,
?(?1)n1??发散,即原级数非绝对收敛．
n?lnnn?1n?lnn(?1)n是交错级数, ?n?lnnn?1?1lnnlnx11n?0, lim?lim?lim?0,?lim?limn???nx???xx???xn???n?lnnn???lnn1?n令f(x)?x?lnx(x?1),?f(x)在(1,??)上单增,即?an?f?(x)?1?1?0(x?1), x11单减,故当n?1时单减,
x?lnxn?lnn11??an?1(n?1),
n?lnn(n?1)?ln(n?1)由莱布尼茨定理知此交错级数收敛，故原级数是条件收敛． (x?1)n例题5 求幂级数?n的收敛域.
2nn?1?分析 令t?x?1,将级数化为关于t 的幂级数形式，求其收敛域. 再解不等式得到原级数的收敛域.
解 令t?x?1,级数变为??R?limanan?11nt n2nn?1?n??112n?1(n?1)?limn/n?1?lim?2 n??2n2(n?1)n??2nn?1当 t = 2 时, 级数为?，此级数发散;
n?1n(?1)n当 t = – 2 时, 级数为?，此级数条件收敛;
nn?1?因此级数的收敛域为?2?t?2,故原级数的收敛域为?2?x?1?2, 即?1?x?3. 例题6 求级数?nnx的和函数. n?1n?1?分析 通过幂级数的逐项求导与逐项积分性将级数化为等比级数求和. 解 易求得级数的收敛域为(-1,1) .设S(x)???nnx,显然S(0)?0. 则 n?1n?1??nn?11?xn?1nnS(x)??x??(1?)x??x??(x?0)
n?1n?1xn?1n?1n?1n?1n?11x?nx1xxx??x??(?x)dx???dx??ln(1?x)
001?xx1?xx1?xn?1n?1n?例题7 将函数f(x)?arctan分析 先求导作间接展开.
1?x展开成 x 的幂级数. 1?x?1解 f?(x)???(?1)nx2n,x?(?1，1) 21?xn?0?x0??f(x)?f(0)??(?1)n?0n?xdx??2nn?0(?1)n2n?1 x2n?1x＝±1 时, 此级数条件收敛, f(0)?, 因此
4f(x)???4??n?0?(?1)n2n?1x,x?[?1，1] 2n?1例题8将函数f(x)?x?1(0≤x≤π)展开成正弦级数和余弦级数.
分析 展开成正弦级数需将函数作奇延拓, 展余弦级数需将函数作偶延拓。先计算傅里叶系数an ,bn ,写出傅里叶级数，再由狄利克雷定理确定收敛情况。
解 先将函数f (x)展开成正弦级数. 将函数f (x)作奇延拓, 由于函数满足狄利克雷定理的条件, 由欧拉-傅里叶系数公式, 有
an?0 (n?0, 1, 2, ?),
1 π2 πbn?f(x)sinnxdx?(x?1)sinnxdx
π ?ππ 0π?2?(x?1)cosnx1 π????cosnxdx?
?π?nn 00??π?2?1π?1sinnxn?? ??(?1)?2?π?nnn0??2?1?(?1)n?1(π?1) (n?1, 2, ?), nπ于是可得函数f(x)的正弦级数为
?????2?ππ?2π?(π?2)sinx?sin2x?sin3x?sin4x??? (0?x?π). ?π?234?在x?0及x?π处, 该正弦级数收敛于零, 不等于原级数的值（如图(a)所示）.
x?1? y y 1 ?? O ? x ?1 1 ?? O ? x
（a） （b）
再将函数f(x)展开成余弦级数, 将函数f(x)作偶延拓（如图(b)所示）, 此时有
1 π2 πa0?f(x)dx?(x?1)dx?π?2,
π ?ππ 0??an?2 π(x?1)cosnxdx
?ππ 0π?2?(x?1)sinnx1 π???sinnxdx? ?? 0π?nn0?1π? πf(x)cosnxdx???2cosnx?n2ππ02[(?1)n?1]?
n2π?4, n为奇数，??(n?1, 2,?), n2??? ?? n为偶数，?bn?0 (n?1, 2, ?).
于是可得函数f(x)的余弦级数为
π?24x?1??2π?n?1?1cos(2n?1)x (0≤x≤π) 2(2n?1)四、本章作业
习题10-1 A: 1(2),(3). 2(单号). 3(单号) B: 1(1),(3). 2.
习题 10-2 A: 1(双号). 2(双号) .3(双号) .4(双号) B: 1(双号). 2. 3. 习题 10-3 A: 1(双号). 2(双号). B: 2(1),(2). 习题 10-4 A: 1(1). 2(双号). 3(3),(4). 习题 10-5 A: 2（1），(3). 3.(1),(2). B: 5. 习题 10-6 A: 1. 2. B: 2. 习题 10-7 A: 1. 2.
第十章复习题 1(双号). 2(2),(3). 4. 6. 7(1),(4). 8(1),(3). 9(1),(3). 11. 12.
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