*精*
双曲线及其标准方程习题
一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )
1. 命题甲：动点P到两定点A、B距离之差│|PA|?|PB|│=2a(a?0)；命题乙；
P点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2.
x2y2?=1共焦点且过点(3，?4)的双曲线方程是 [ ]1510x2y2x2y2A．?=1 B．?=1520205x2y2x2y2C．?=1 D．?=1916169[ ] 与双曲线 13. 已知ab?0，方程y=?2x?b和bx2?ay2=ab表示的曲线只可能是图中的 [ ]
若双曲线2kx2?ky2=1的一个焦点是(0，4)，则k等于 [ ]A．?3535 B． C． D．?32832814.
33.
点P到点(?6，0)与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于10，则P点的轨迹方程是 [ ]A．x2x2y225?y211=1 B．61?25=1C．x2?y2x2y2256=1 D．11?25=14.
k＜5是方程x2k?5+y26?k=1表示双曲线的 [ ]A．既非充分又非必要条件 B．充要条件C．必要而非充分条件 D．充分而非必要条件5. 如果方程x2sin??y2cos?=1表示焦点在y轴上的双曲线，那么角?的终边在
[ ]
A．第四象限B．第三象限 C．第二象限D．第一象限 6.
下列曲线中的一个焦点在直线4x?5y+25=0上的是 [ ]A．x2y2x29161 B．25+y2?=16=1y2x2C．9?16=1 D．y2x225+16=17. 若a·b?0，则ax2?ay2=b所表示的曲线是 [ ]
A．双曲线且焦点在x轴上 B．双曲线且焦点在y轴上
C．双曲线且焦点可能在x轴上，也可能在y轴上 D．椭圆 8.
以椭圆x29+y225=1的焦点为焦点，且过P(3，5)点的双曲线方程为[ ]A．x2y26?10=1 B．y2x210?6=19y2．25?x23=1 D．11y250?x2C2=19.
到椭圆x2y225+9=1的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 [ ]A．x2y2x225?9=1 B．16?y29=1C．x2y2x29?7=1 D．7?y29=110.
直线2x?5y+20=0与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 [ ]A．x2y28416=1 B．x2y2?16?84=1x2y2x2y2x2y2C．100?84=1 D．16?84=1或100?84=111.
以坐标轴为对称轴，过A(3，4)点且与双曲线x25?y220=1有相等焦距的双曲线方程是 [ ]x2y22A．y5?20=1或?x2=1 Bx2y2y2x2520．10?15=1或10?15=1C．x2y2y2x2x2y2y2x25?20=1或10?15=1 D．20?5=1或15?10=112.
已知△ABC一边的两个端点是A(7,0)、B(?7,0)，另两边斜率的积是5那么顶点C的轨迹方程是 [ ]A．x2+y2=49 B．5y2x2147+49=1．5y2147?x249=1 D．x249?5y2C147=1二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1.
已知双曲线x2y2k?1?5=1的焦距是8，则k的值等于 ．2.
设双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，a与b恰是直线3x+5y?15在x轴与y轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．
双曲线的标准方程及其简单的几何性质
1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是( ) A．双曲线 B．一条直线 C．一条线段 D．两条射线
2．已知方程x21＋k－y2
1－k
＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1
3．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．双曲线的一支 B．圆 C．抛物线 D．双曲线
．以椭圆x23＋y2
44
＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲
线方程是( )
A.x23－y2＝1 B．y2－x2x2y2y2x23＝1 C.3－4＝1 D.3－4
＝1 5．“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的两个焦点为F1(－5，0)、F2(5，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2， |PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是( ) x22－y23＝1 B.x23－y22＝1 C.x2y2A.4－y2＝1 D．x2－4＝1
7．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为( )
x2y2x2y2x2y2x2y2x2y2A.9－7＝1 B.9－7＝1(y>0) C.9－7＝1或7－9＝1 D.9－7
＝1(x>0)
8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( ) A．16 B．18 C．21 D．26
9．已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1共焦点，它们的离心率之和为14
5
，双曲线的方程是( )
x212－y24＝1 B.x24－y212＝1 C．－x2y2x2y2A.12＋4＝1 D．－4＋12＝1
焦点为(0，±6)且与双曲线x2
10．2
－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
x2y2y2x2y2x2x2A.12－24＝1 B.12－24＝1 C.y224－12＝1 D.24－12＝1
11．若0 2＝1与a2－b2＝1有( ) A．相同的实轴 B．相同的虚轴 C．相同的焦点 D．相同的渐近线 12．中心在坐标原点，离心率为5 3 的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线 方程为( ) A．y＝±54x B．y＝±45x C．y＝±43x D．y＝±3 4x 13．双曲线x2y2 b2－a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为 ( ) A．2 B.3 C.2 D.3 2 14．双曲线x29－y2 16 ＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A.3 B．3 C．4 D．2 二、填空题 15．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x23－y2 4＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________． 17．如果椭圆x2y2x2y2 4＋a2＝1与双曲线a－2＝1的焦点相同，那么a＝________. 18．双曲线x224＋y b＝1的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是________． x2y2．椭圆4＋x2 19a2＝1与双曲线a 2－y2＝1焦点相同，则a＝________. 20．双曲线以椭圆x29＋y2 25 ＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍， 求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案 一、单选题 1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. C 7. B 8. B 9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2. 234 双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案） 1、[答案] D 2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1 3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r，圆心为O， x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2， 由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2， ∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支． 4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2， 2∴b2＝3，双曲线方程为y2－x 3 ＝1. 5、[答案] C [解析] ab<0?曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线?ab<0. 6、[答案] C [解析] ∵c＝5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x2y2 9－7 ＝1(x>0) 8、[答案] D [解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8， ∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21， ∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26. [答案] C [解析] ∵椭圆x2y29、4 9＋25＝1的焦点为(0，±4)，离心率e＝5 ， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为： y2 4 －x 212 ＝1. 10、[答案] B [解析] 与双曲线x2 2 －y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可 设为x 22 －y2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y轴上， ∴方程可写为y2x2 －λ－－2λ ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y2x2 12－24 ＝1. 11、[答案] C [解析] ∵0 [答案] D [解析] ∵c5c2a2＋b212、25b216b4 a＝3，∴a2＝a2＝9，∴a2＝9，∴a＝3 ， *精* ∴ab＝34 . 又∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的渐近线方程为y＝±a b x，∴所求双 曲线的渐近线方程为y＝±3 4 x. 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y＝±x， ∴ba＝1，∴b2c2－a2c a2＝a2＝1，∴c2＝2a2，e＝a＝2. 14、[答案] C [解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y＝±4 3 x，∴一个焦点(5,0)到渐 近线y＝4 3 x的距离为4. x2y2x2、[答案]y2 157－7＝1 [解析] 设双曲线方程为：a2－b2＝1(a>0，b>0) 35 ??94 a2－、N(－2，－1)在双曲线上，∴?b2＝1 又点M(3,2)?? 41 a2－b2＝1 ?2 7 ，∴?a＝?3. ?? b2＝7 5 16、[答案] 83 3 [解析] ∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝7， ＝7该弦所在直线方程为x＝7，由?x??x2y2 得y2＝1643 3－4＝1 3，∴|y|＝3 ，弦长 为 833 . 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1. 18、[答案] －12 4－b 2 ∈(1,2)，∴－12 19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a2＝a2＋1，∴2a2＝3，a＝62 . 焦点为(0，±4)，离心率e＝c4a＝5，∴双曲线的离心率e＝8 1＝2e5 ， ∴c1485a222539y2 1＝a1＝5，∴a1＝，∴b21＝c1－a21 ＝16－4＝4，∴双曲线的方程为25 －4x2 39＝1. 4 20、[答案] y2－x2＝1 [解析] 椭圆x2＋y2 ＝1中，a＝5，b＝3，2 2539925c44 ＝16，
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