16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.
(1) 求证：BC⊥平面VCD； (2) 求证：AD∥MN.
17. (本小题满分14分)
某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；
(2) 当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．
18. (本小题满分16分)
x2y2
已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为42.设A为椭圆C的左顶点，直线l
ab
过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若△AEF的面积为10，求直线l的方程；
(3) 已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′.求证：k·k′为定值．
Q，
19. (本小题满分16分)
设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64，数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1b1＋a1b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n1＋2.
(1) 分别求数列{an}与{bn}的通项公式；
1111
1－??1－?…?1－?< (2) 若不等式λ?求实数λ的取值范?2b1??2b2??2bn?2bn＋1对一切正整数n都成立，围；
(3) 已知k∈N*，对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m.使得Tm＝2 019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝aln x－bx(a，b∈R)．
(1) 若a＝1，b＝1，求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程； (2) 若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间；
(3) 若b＝1，已知函数y＝f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1
数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. (本小题满分10分)
π5π
2x－?的图象在x＝处的切线方程． 求函数y＝3cos?3??12
22. (本小题满分10分)
已知定点A(－2，0)，点B是圆x2＋y2－8x＋12＝0上一动点，求AB中点M的轨迹方程.
＋
23. (本小题满分10分)
在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点． (1) 求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值； (2) 求二面角B1DC1A1的余弦值．
24. (本小题满分10分)
x－yπ2xy
0，?，n为正整数，cos θ＝2已知x，y为整数，且x>y>0，θ∈?，sin θ＝，记An＝(x2＋?2?x＋y2x2＋y2
y2)ncos nθ，Bn＝(x2＋y2)nsin nθ.
(1) 试用x，y分别表示A1，B1；
(2) 用数学归纳法证明：对一切正整数n，An均为整数．
数学 参考答案
13π61711
1. {0，2} 2. {x|x≤2} 3. 4. 8 5. 6. 7. 8. (2，3) 9. － 10. 11. 12. 3 13. [－2，
53528321
－，＋∞? 2] 14. ??6?
abc15. (1) 由正弦定理＝＝，(1分)
sin Asin Bsin C
且ccos B＋bcos C＝3acos B，得sin Ccos B＋sin Bcos C＝3sin Acos B，(3分) 则3sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，(5分) 又A∈(0，π)，则sin A>0，(6分) 1
则cos B＝.(7分)
3
2
2
(2) 因为B∈(0，π)，则sin B>0，sin B＝1－cos2B＝→→→
因为|CA－CB|＝|BA|＝c＝2，(10分) 1122又S＝acsin B＝a×2×＝22，
223解得a＝3.(12分)
1?22
1－??3?＝3.(9分)
2
1
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋4－2×3×2×＝9，则b＝3.(14分)
3故边b的值为3.
16. (1) 在四棱锥VABCD中，
因为VD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， 所以VD⊥BC.(3分)
因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.(4分) 又CD?平面VCD，VD?平面VCD，CD∩VD＝D， 则BC⊥平面VCD.(7分)
(2) 因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，(8分) 又AD?平面VBC，BC?平面VBC， 则AD∥平面VBC，(11分)
又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD?平面ADNM， 则AD∥MN.(14分)
17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2千米， 所以AB＝AC＝BC＝2，(1分)
因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°， 所以∠BDC＝120°，(2分)
在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)
所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD， 4则BD·CD≤，(4分)
3
当且仅当BD＝CD时等号成立，
123
此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝＝.
cos 30°3
1143
区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝×2×2×sin 60°＋BD·CD·sin 120°＝(平方千米)．(7分)
2231
(或者：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×AB·BD
2＝
43
(平方千米)．(7分)) 3
(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元， π
0，?，(8分) 在Rt△BDE中，由(1)知，∠BDE＝θ∈??3?232323则DE＝，BE＝tan θ，AE＝AB－BE＝2－tan θ，(9分)
3cosθ33
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