9、在锐角?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且B=2A，则是（ ）
A、（-2， 2） B、（0，2） C、（2，2） D、（2，3）
b的取值范围a9解：A+B+C=180 3A+C=180 0 ?42=（ ） 10、已知cos?=?,?是第三象限角，则 ?51?tan211 A、? B、? C、2 D、-2 221?tan （二）填空题 1、在?ABC中，已知AB= 466，cosB= ，AC边上的中线BD= 365，则sinA=— 1、解：延长BD至E，使BD=DE，连结AE 。则∠BAE=π-B；& AE=BC=a 所以 a^2+32/3-2a*4√6/3*cos(π-B)= (2根号5)^2 a^2+8a/3+32/3=20, 3a^2+8a-28=0, a=2 ,b=AC=根号（32/3+4-2*2* √6/3* √6/6)=3 sinA/2=sinB/3; sinB=根号30/6; sinA=根号30/9 2、设?ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，则下列命题正确的是— ???333；②、若a+b>2c,则C<；③、若a?b?c,则C<； 332??22222④、若（a+b）c<2ab,则C>；⑤、若(a?b)c?2ab,则C> . 23①、若ab>c,则C< 2 2 ②解析：因为a,b,c是△ABC的三边 所以a,b,c都是正数 因为a+b>=2c 所以（a+b）2≥4c2 即c2≤（a+b）2/4 -c2≥-（a+b）2/4 所以a2+b2-c2≥a2+b2-（a+b）2/4 =[3a2+3b2-2ab]/4 =[2a2+2b2+(a-b)2]/4 ≥[2a2+2b2]/4 ——（a-b)2≥0 =（a2+b2）/2 ≥ab 根据余弦定理 cosC=（a2+b2-c2）/（2ab） ≥ab/(2ab)=1/2 因为余弦函数在第一象限角时为减函数， 所以C≤60° - 9 - ③∵ a^3+b^3=c^3 ，c为最大边， 两边同时除以c^3，得(a/c)^3+(b/c)^3=1 ∵0c2 ∴cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)>0，∴C<π/2成立 ④解析：在三角形ABC中(a+b)c<2ab推出(a?b)c?2ab<=2(所以C< cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab>{a^2+b^2-[(a+b)/2]^2}/2ab>=(3a^2+3b^2-2ab)/8ab >=(6ab-2ab)/8ab=1/2因为y=cosx在（0，π）上是减函数，所以C∈(0，π/3) a?b2)， 2a?b 22a2b22a2b2⑤解析：(a?b)c?2ab得c?2???ab，同① 2(a?b)2ab222222 3、函数f(x)= sin(2x??4)?22sin2x的最小正周期是— 4，三角形ABC中，A为30度a=√2，求三角形的面积的最大值 解：由已知√2/sin30o=2R即2R=2√2)；B+C=150o , ∴ 又b=2RsinB ;c=2RsinC ∴面积S=1/2·bcsinA=1/2·4R^2sinBsinCsin30o=2·sinAsinC =-[cos(A+C)-cos(A-C)]=-[cos150o-cos(A-C)] =(√3)/2·+cos(B-C)] 当B=C时，s最大，其最大值是√3/2+1， (2+√3)/2选B 5.已知ΔABC中，∠ABC=90O,AB=1,AC=2,若ΔABC内部一点P满足:SΔPAB/PA.PB=SΔPBC/PC.PB=SΔPAC/PA.PC,则PA+PB+PC= 详解：由SΔPAB/PA.PB=SΔPBC/PC.PB=SΔPAC/PA.PC, 设∠APB=α,∠BPC=β,∠APC=360O -(α+β) 则 SΔPAB/PA.PB= SΔPBC/PC.PB= SΔPAC/PA.PC= 所以：sinα=sinβ=-sin(α+β) Sinα+sin(α+β)=2cosβ/2.sin(α+β/2)=0 Sinβ+sin(α+β)=2cosα/2.sin(β+α/2)=0 因为 cosβ/2≠0,cosα/2≠0 所以： sin(α+β/2)=0，sin(β+α/2)=0 α+β/2=β+α/2=π，解出β=α=2π/3=360o -(α+β) 有余弦定理得：x2+y2+xy=1; z2+y2+zy=4 x2+z2+xz=3 以上三个式子相加得2（x2+y2+z2 ）+ xy+zy+xz=8 又1/2（ xy+zy+xz）sin120o=SABC=√3/2 所以： xy+zy+xz=2 所以： 2（x2+y2+z2 ）+ xy+zy+xz=2（x2+y2+z2 ）+2=8 所以：（x2+y2+z2 ）=3 所以：（x2+y2+z2 ）+2（xy+zy+xz）=7所以：（x+y+z ）=√7 - 10 - （三）解答题 4、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O的北偏西30且与港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿着直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。 （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度的大小应为多少？ （2）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇的航行速度的最小值。 （3）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围。若不存在，请说明理由。 （提示：有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于三角形有两解） o??????5、在?ABC中，m=（sinA,cosC）, n=(coSB,sinA), m?n= sinB+sinC. （1）、求证?ABC为直角三角形； （2）、若?ABC外接圆的半径为1，求?ABC周长的取值范围。 5解(1)m*n=sinA*cosB+cosC*sinA=sinB+sinC 则sinA*cosB+cosC*sinA=sin(A+C)+sin(B+A) 则sinA*cosB+cosC*sinA=cosC*sinA+sinC*cosA+sinBcosA+sinA*cosB 则0=sinC*cosA+sinBcosA 1)当cosA不为0时 sinC=-sinB 因为是三角形，sin角大于0，所以，等式显然不成了 2)当cosA为0时原式成立 综上，角A=90° 所以三角形ABC为直角三角形 （2）解因为∠A=90°， 所以BC就是外接圆的直径，BC=2， 三角形ABC的周长就是AB+AC+2 又根据正弦定理得AB=2RsinC=2sinC，AC=2RsinB=2sinB 所以AB+AC=2(sinC+sinB) 又因为∠A=90°，所以∠B+∠C=90°，sinC=cosB 所以AB+AC=2(sinC+sinB)=2(sinB+cosB)=2√2sin(B+π/4) 因为0 ????????2? 6、已知?ABC中，AC=1，∠ABC=,∠BAC=x.记f(x)= AB?BC. 3 （1）、求函数的解析式及定义域； （2）、设g(x)=6mf(x)+1,x∈（0，），是否存在正实数m，使函数g(x)的值域为?1,?？ 43 若存在，请求出m的值； 6、解：（1）由正弦定理可得 AC/sinB=AB/sin(π-2π/3-x)=BC/sinx 解得AB=2√3/3 sin(π/3-x)，BC=2√3/3 sinx，所以f(x)=AB*BC=|AB||BC| cos(π-B） =2/3 sinxsin(π/3-x) =2/3(√3/2sinxcosx-1/2sin2x) =2/3(√3/4sin2x+1/4cos2x-1/4) =1/3(√3/2sin2x+1/2cos2x)-1/6=1/3 sin(2x+π/6)-1/6 所以定义域 A>0 ==x>0 C=π/3-x>0 ==>x<π/3 ??5???- 11 - (2)、g(x)=2msin(2x+π/6)-m+1 x∈(o,π/3) 因为 x∈(o,π/3) ==>2x+π/6∈(π/6,5π/6) 所以sin(2x+π/6)∈(1/2,1] 假设存在g(x)min=1 又g(x)max=m+1 所以m+1=5/4 ==>m=1/4所以存在 m=1/4 7、已知A、B是海面上位于东西方向相距5(3?3)海里的两个观测点，现有一艘位于A点北偏东45，B点北偏西60的轮船发出求救信号，若命令位于B点南偏西60且与B点相距203海里的C处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间？ 8、 已知三角形ABC中，点P在AC上，且向量AP=tAC，若满足 ooo总成立，则角C为90度， 证明：如图：∵ ∴ 9、数列an的通项公式an=3n^2-(9+a)n+6+2a(其中a为常数),若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围 解：令f(x)=3x^2-(9+a)x+6+2a，为开口向上的抛物线，对称轴为x=(9+a)/6 则数列an的各项必然是抛物线上的点 欲使a6与a7至少有一项是an的最小值，由于n取整数，由抛物线的对称性可知， 抛物线的对称轴需落在区间[5.5,7.5]上，即5.5≤(9+a)/6≤7.5 解得 24≤a≤36 - 12 -
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