2020年高考数学一轮复习讲练测专题2.2函数的单调性与最值（讲）文（含解析）

专题2.2 函数的单调性与最值

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

知识点一 函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

知识点二 函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有(3)对于任意的x∈I，都有条件 f(x)≤M； f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【特别提醒】

1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1

f（x）

的单调性相反.

1

2.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].

考点一 判断函数的单调性

【典例1】【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+?）上单调递增的是（ ） A．y?x C．y?log1x

2ax12

B．y=2?x D．y?

1 x

【答案】A

【解析】易知函数y?2,y?log1x，y?212?x1在区间(0,??)上单调递减， x函数y?x在区间(0,??)上单调递增. 故选A.

【方法技巧】函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可。

【变式1】（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) C．(1，＋∞) 【答案】D

【解析】函数y＝x－2x－8＝(x－1)－9图象的对称轴为直线x＝1，由x－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．

考点二 确定含参函数的单调性(区间)

【典例2】（2019·大连二十四中模拟） 讨论函数f(x)＝【解析】方法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，

2

2

2

2

2

2

B．(－∞，1) D．(4，＋∞)

axx－1

(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

f(x)＝a?

?x－1＋1?＝a?1＋1?，

???

?x－1??x－1?

??

1??1?

1＋－a?? x1－1???x2－1?

则f(x1)－f(x2)＝a?1＋＝

a(x2－x1)

.

(x1－1) (x2－1)

2

由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递增。 方法二：(导数法)f′(x)＝

(ax)′(x－1)－ax(x－1)′a(x－1)－axa＝＝－222

(x－1)(x－1)(x－1)

当a>0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增。

【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．

(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；

12

【变式2】（2019·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f(x)＝ax＋(其中1

x单调性．

12

【解析】函数f(x)＝ax＋(1

x证明：设1≤x1

2

f(x2)－f(x1)＝ax22＋－ax1－

x2x1

11

＝(x2－x1) ?a(x1＋x2)－

?

?

x1x2??

1?，

由1≤x10,2

1<－. x1x241

又因为1

1

x1x2

>0，

3

从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增． 考点三 解函数不等式

??1??【典例3】（2019·山东潍坊一中模拟） 已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f????＜f(1)的实数

??x??

x的取值范围是( )

A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1) 【答案】C

B．(0,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

??1?>1，???1????【解析】由f(x)为R上的减函数且f????＜f(1)，得??x?

??x????x≠0，

0＜x＜1.故选C.

?|x|＜1，?

即???x≠0.

所以－1＜x＜0或

【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．

【变式3】（2019·广东深圳中学模拟）设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是( )

A．{x|－33} B．{x|x<－3或03} D．{x|－3

【解析】∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0， ∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0. ∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数， ∴当03时，f(x)>0. ∵函数f(x)是奇函数，∴当－30； 当x<－3时，f(x)<0.

则不等式f(x)<0的解集是{x|0

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