直线参数方程第一课时学案

直线参数方程（第一课时）学案

目标点击：

1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；

基础知识点击：

1、直线参数方程的标准式

?x?x0?tcos?(1)过点P0(x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程是 ? （t为参

y?y?tsin?0?数）t的几何意义：t表示有向线段p0p的数量，P(x,y) 为直线上任意一点.则p0p=t

∣p0p∣=∣t∣

(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则p1p=t2－t1 ∣p1p∣=∣t 2－t 1∣

(3) 若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3则P1P2中点P3

t?t的参数为t3＝12,∣P0P3∣=t1?t2

22(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t12t2<0 2、直线参数方程的一般式过点P0(x0,y0)，斜率为k??x?x0?at ? （t为参数）

?y?y0?btb的直线的参数方程是 a 一、直线的参数方程

问题1：（直线由点和方向确定）

求经过点P0(x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程. 设点P(x,y)是直线l上任意一点，（规定向上的方向为 直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q点.

01)当P0P与直线l同方向或P0和P重合时，

P0P＝|P0P| 则P0Q＝P0Pcos? Q P＝P0Psin? 2)当P0P与直线l反方向时，P0P、P0Q、Q P同时改变符号 P0P＝－|P0P| P0Q＝P0Pcos? Q P＝P0Psin? 仍成立 设P0P＝t，t为参数，又∵P0Q＝x?x0， x?x0＝tcos? l yP0P(x,y) ? Q xyl P0P(x,y) Q ? ?x?x0?tcos? Q P＝y?y0 ∴y?y0=t sin?即?是所 x0y?y?tsin?0?求的直线l的参数方程 ∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点P0(x0,y0)到点 P(x,y)的有向线段的数量，且|P0P|＝|t|1.当t>0时，点P

在点P0的上方；2.当t＝0时，点P与点P0重合；3.当t<0时，点P在点P0的下方；

l

?x?x0?t特别地，若直线l的倾斜角?＝0时，直线l的参数方程为? y?yy0?① 当t>0时，点P在点P0的右侧； P0P(x,y) ② 当t＝0时，点P与点P0重合； ③ 当t<0时，点P在点P0的左侧； x0问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一 l y对应关系？我们把直线l看作是实数轴，

以直线l向上的方向为正方向，以定点P0为原点，以 P0原坐标系的单位长为单位长，这样参数t便和这条实 数轴上的点P建立了 一一对应关系. xP 问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2 ， 0则P1P2＝？∣P1P2∣=？ P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1∣P1P2∣=∣ t2－t1∣ 问题4：若P0为直线l上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？根据直线l参数方程t的几何意义， l yP2 P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线l上两点P1、P2的中点， ∴|P1P|＝|P2P| P1P＝－P2P，即t1＝－t2, t1t2<0 P0一般地，若P1、P2、P3是直线l上的点，所对应的参数分 xP1 别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点则t3＝t1?t2 2（∵P1P3＝－P2P3, 根据直线l参数方程t的几何意义， ∴P1P3= t3－t1, P2P3= t3－t2, ∴t3－t1=－(t3－t2,) ） 0 基础知识点拨：

1、参数方程与普通方程的互化

例1：化直线l1的普通方程x?3y?1＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t∣的几何意义.

解：令y=0,得x＝1，∴直线l1过定点(1,0). k＝－1=－3

33 设倾斜角为?，tg?=－3,?= 5?, cos? =－3, sin?=1

3622

?3t ?x?1?l1的参数方程为?2??y?1t?2? （t为参数）

t是直线l1上定点M0（1，0）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的数量.

?3(1)(1)、由?(2)两式平方相加,得(x?1)2?x?1??2t ??y?1t (2)?2??y2?t2∣t∣＝(x?1)2?y2∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长.

点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.

?x??3?t例2：化直线l2的参数方程?（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，

y?1?3 t? 说明∣t∣的几何意义.

x?3?t ( 1 ) 解：原方程组变形为? (1)代入(2)消去参数t， 得? ) ?y?1?3 t ( 2y?1?3(x?3)(点斜式)可见k=3, tg?=3,倾斜角?=3x?y?33?1?0

?普通方程为 3(x?3)2?(y?1)2 (1)、(2)两式平方相加,得(x?3)?(y?1)?4t∴∣t∣=

2222∣t∣是定点M0（3，1）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长的一半. 点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线l1的参数方程 为??x?1??????5?3t即?x?1?tcos?62?51?y?tsin?y?t6?2是直线方程的标准形式，(-3)2+(1)2=1, t的几何意

22?x??3?t义是有向线段M0M的数量.直线l2的参数方程为?是非标准的形式，

?y?1?3 t12＋(3)2=4≠1，此时t的几何意义是有向线段M0M的数量的一半.

你会区分直线参数方程的标准形式？

例3：已知直线l过点M0（1，3），倾斜角为

??，判断方程???31x?1?t（t为参数）

2?y?3?3t?2??x?1?t和方程?（t为参数）是否为直线l的参数方程？如果是直线l的参数方

y?3?3 t?程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.

解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l的的普通方程 3x?y?3?3?0，所以，以上两个方程都是直线l的参数方程，其中

1?x?1?t??2 ??y?3?3t?2? cos? =1, sin?=3，是标准形式，参数t是有向线段M0M的数

22?x?1?t量.，而方程?是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.

?y?3?3 t点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.

?x?1?t问题5：直线的参数方程?能否化为标准形式？

?y?3?3 t 是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化) ???y1?x?1?(12?(3)2t)?x?1?t12?(3)2 令????3?3 t3?y?3? (12?(3)2t)?12?(3)2?t?=12?(3)2t 得到直线l

1?x?1?t???2 t?的几何意义是有向线段M0M的数量. 参数方程的标准形式??y?3?3 t??2?2、直线非标准参数方程的标准化

一般地，对于倾斜角为?、过点M0(x0,y0)直线l参数方程的一般式为，.

b?x?x0?atk?tg?? （t为参数）， 斜率为 ?ay?y?bt0?(1) 当a2?b2＝1时，则t的几何意义是有向线段M0M的数量.

(2)

当a2?b2≠1时，则t不具有上述的几何意义.

a?22x?x?(a?bt)0??x?x0?at2222a?b可化为? 令t?=a?bt ??y?y?btb0??y?y0?(a2?b2t)?a2?b2?a?x?x?t?0?22a?b则可得到标准式? t?的几何意义是有向线段M0M的数量. ?b?y?y0?t?22?a?b?3?例4：写出经过点M0（－2，3），倾斜角为的直线l的标准参数方程，并且

4求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标.

3?x??2?tcos?解：直线l的标准参数方程为?4?3?y?3?tsin?4?

?x??2?即????y?3???2t（1） 2（t为参数）2t2设直线l上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t,则| M0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t的值代入(1)式当t=2时，M点在 M0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M点在 M0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）.

点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易.

?x?3?tsin20?例5：直线?（t为参数）的倾斜角 . ??y?4?tcos20y?4解法1：消参数t,的x?3＝－ctg20°=tg110°

?x?3?(?t)tcos110?解法2：化为标准形式： ? （－t为参数） ∴此直线的??y?4?(?t)sin110倾斜角为110°