最新人教版小学试题 第6节 双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知 识 梳 理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.
其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若a
标准方程 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图 形 范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a，0)，A2(a，0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞) a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲实虚轴 线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 a，b，c的关系 [常用结论与微点提醒]
2b1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径.
2
c2＝a2＋b2 aca2＋b2
2.离心率e＝＝＝aab2
1＋2. a3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
x2y2
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
mnx2y2x2y2xy(4)双曲线2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0，即±＝0.( )
mnmnmn解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
y2
2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，
m＋n3m－n则n的取值范围是( ) A.(－1，3) C.(0，3)
B.(－1，3) D.(0，3)
x2
y222
解析 ∵方程2－2＝1表示双曲线，∴(m＋n)·(3m－n)>0，解得
m＋n3m－n－m 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直， 3点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( ) 1A. 3 1B. 2 2C. 3 3D. 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 y2 部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 解析 由c＝a＋b＝4得c＝2，所以F(2，0)， 1 将x＝2代入x－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2 32 22 2 2 y2 3 －1)＝. 2答案 D y2 4.(2017·北京卷)若双曲线x－＝1的离心率为3，则实数m＝________. m2 1＋m2 解析 由题意知＝e＝3，则m＝2. 1答案 2 5.(选修1－1P54A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 解析 设双曲线的方程为：x－y＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为 2 2 x2y2 8 －＝1. 8 答案 x2y2 8 －＝1 8 考点一 双曲线的定义及其应用 23 【例1】 (1)(2018·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－7)， 3点A(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( ) A.8 B.10 2 C.4＋37 2 2 D.3＋317 2 (2)(2018·西安调研)已知圆C1：(x＋3)＋y＝1和圆C2：(x－3)＋y＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________. 解析 (1)由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋ 434，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10. (2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， y2x2 部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b＝8. 故点M的轨迹方程为x－＝1(x≤－1). 8答案 (1)B (2)x－＝1(x≤－1) 8 规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系. 【训练1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x－y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( ) 1A. 4 3B. 5 3C. 4 4D. 5 2 2 2 22 y2 y2 (2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2| 1620等于________. 解析 (1)由x－y＝2，知a＝b＝2，c＝2. 2 2 x2y2 ?|PF1|－|PF2|＝22，由?得|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定?|PF1|＝2|PF2|， |PF1|＋|PF2|－|F1F2|3 理，得cos∠F1PF2＝＝. 2|PF1|·|PF2|4 (2)由题意知|PF1|＝9 考点二 双曲线的标准方程的求法 2 2 2 x2y25 【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝ab2 x2y2 x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( ) 12 3 部编本试题，欢迎下载！
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