最新人教版小学试题 x2
y2
x2y2x2y2
A.－＝1 810C.－＝1 54
B.－＝1 45D.－＝1 43
x2y2
(2)(一题多解)设双曲线与椭圆
x2
27
＋
y2
36
＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为
(15，4)，则此双曲线的标准方程是________. 解析 (1)由题设知＝
ba5
，① 2
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
123易知a＋b＝c＝9，②
由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为－＝1.
45(2)法一 椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，
2736
2
2
2
x2y2
x2y2
x2y2
y2x2
设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab根据定义知2a＝|（15－0）＋（4－3）－ （15－0）＋（4＋3）|＝4， 故a＝2.又b＝3－a＝5， 故所求双曲线的方程为－＝1.
45
2
2
2
2
2
2
2
y2x2
y2x222
法二 椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则a＋b2736ab1615y22
＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以2－2＝1，解得a＝4，b＝5.故所求双曲线的方程为
ab4－＝1.
5
法三 设双曲线的方程为
＋＝1(27<λ<36)， 27－λ36－λ1516
＋＝1， 27－λ36－λ2
x2y2
x2
x2y2
由于双曲线过点(15，4)，故解得λ1＝32，λ2＝0(舍去).
故所求双曲线方程为－＝1.
45答案 (1)B (2)－＝1
45
规律方法 求双曲线标准方程的一般方法
y2x2
y2x2
部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出
x2y2x2y2
a，b，c的值.与双曲线2－2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为2－2＝λ(λ≠0).
abab(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.
x2y2
【训练2】 (1)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与
ab圆(x－2)＋y＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 913C.－y＝1 3
2
2
x2x2
y2
2
B.
x2
13
2
－＝1 9
y2
D.x－＝1
3
2
y2
(2)(2018·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.－＝1 927C.－＝1 1224
x2y2
B.－＝1 927D.
－＝1 2412
y2x2
y2x2y2x2
解析 (1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x－2)＋y＝3相切，所以
2
2
2
2
ba|2b|
a＋b22＝3，由双曲线的一个焦点为F(2，0)可得a＋b＝4，所
2
22
以|b|＝3，即b＝3，所以a＝1，故双曲线的方程为x－＝1.
3(2)∵x＝24y，∴焦点为(0，6)，
2
y2
y2x2
∴可设双曲线的方程为2－2＝1(a>0，b>0).
ab∵渐近线方程为y＝±x， 其中一条渐近线的倾斜角为30°，
aba3y2x222
∴＝，c＝6，∴a＝9，b＝27.其方程为－＝1. b3927
答案 (1)D (2)B 考点三 双曲线的性质
x2y2
【例3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，
abb为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率
为________.
x2y2
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为Fab部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 的抛物线x＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
解析 (1)如图，点M，N所在的渐近线为ay－bx＝0，圆A的圆|0－ab|
心A(a，0)到渐近线的距离d＝2，又M，N均为圆A上的
a＋b2点，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN＝60°，∴△MAN为等边三角形，在△MAN内，A到边MN的距离为d＝|AM|·cos 30°＝|0－ab|3c22
＝b，解得a＝3b，∴e＝＝
aa2＋b22
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
b，即2
2
a2＋b223
＝. a23
xy??2－2＝1，22222
联立方程：?ab消去x得ay－2pby＋ab＝0，
??x2＝2py，
2b由根与系数的关系得y1＋y2＝2p，
2
22
a2bb1b2
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，∴2p＝p，即2＝?＝.
222aa2a2∴双曲线渐近线方程为y＝±
2x. 2
ppp22
232
答案 (1) (2)y＝±x
32
x2y2
规律方法 1.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线2－2＝1(a＞0，b＞
ab0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e＝1＋k.
2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b＝c－a和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
2
2
2
ba22
cax22
【训练3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若a>1，则双曲线2－y＝1的离心率的取值范围是( )
aA.(2，＋∞) C.(1，2)
B.(2，2) D.(1，2)
(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，
2→→
若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是( )
x2
2
部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 33??
，? 3??3
?2222?C.?－，?
3??3A.?－
2
33??
，? 6??6
?2323?D.?－，?
3??3B.?－
c2a2＋111
解析 (1)由题意e＝2＝2＝1＋2，因为a>1，所以1<1＋2<2，则1 aaaa(2)因为F1(－3，0)，F2(3，0)，－y0＝1， 2 →→3222 所以MF1·MF2＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x0＋y0－3＜0，即3y0－1＜0，解得－＜ 3 x20 2 y0＜ 3 . 3 答案 (1)C (2)A 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 x2y2 1.(2018·郑州模拟)设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的 ab渐近线方程为( ) 1 A.y＝±x 2C.y＝±2x B.y＝± 2 x 2 D.y＝±2x 2 2 解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝23，所以c＝3，所以a＝c－b＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±答案 B ba2x. 2 x2y2 2.(2017·天津卷)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0， ab4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 44C.－＝1 48 x2y2x2y2 B.－＝1 88D.－＝1 84 x2y2x2y2 解析 由e＝2知a＝b，且c＝2a. ∴双曲线渐近线方程为y＝±x. 4－04 又kPF＝＝＝1， 0＋cc部编本试题，欢迎下载！
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