超级资源：(合集)八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案(15套)

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案（15套）

1、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】

1. 把下列各式因式分解 （1）?ax2m?2?abxm?1?acxm?axm?3

322 （2）a(a?b)?2a(b?a)?2ab(b?a)

分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：?ax2m?2?abxm?1?acxm?axm?3??axm(ax2?bx?c?x3)

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(a?b)2n?(b?a)2n；(a?b)2n?1??(b?a)2n?1，是在因式分解过程中常用的因式

变换。

解：a(a?b)3?2a2(b?a)2?2ab(b?a)

?a(a?b)3?2a2(a?b)2?2ab(a?b) ?a(a?b)[(a?b)?2a(a?b)?2b]2

?a(a?b)(3a2?4ab?b2?2b)

2. 利用提公因式法简化计算过程

987987987987?268??456??521? 1368136813681368987 分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

1368987?(123?268?456?521) 解：原式?1368987?1368?987 ?1368 例：计算123?

3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组??2x?y?3，求代数式(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)的值。

?5x?3y??2 分析：不要求解方程组，我们可以把2x?y和5x?3y看成整体，它们的值分别是3和?2，观察代数式，发现每一项都含有2x?y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x?y和5x?3y的式子，即可求出结果。

解：(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)?(2x?y)(2x?3y?3x)?(2x?y)(5x?3y) 把2x?y和5x?3y分别为3和?2带入上式，求得代数式的值是?6。

4. 在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n，3n?2n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3?2n?2?3n?2n?3n?2?3n?2n?2?2n

?3n(32?1)?2n(22?1)?10?3?5?2nnn

?对任意自然数n，10?3和5?2都是10的倍数。 ?3n?2n?2n?2?3n?2n一定是10的倍数

5、中考点拨：

例1。因式分解3x(x?2)?(2?x) 解：3x(x?2)?(2?x)

?3x(x?2)?(x?2)

?(x?2)(3x?1) 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

例2．分解因式：4q(1?p)3?2(p?1)2 解：4q(1?p)3?2(p?1)2

?4q(1?p)3?2(1?p)2 ?2(1?p)[2q(1?p)?1]

2?2(1?p)2(2q?2pq?1) 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

题型展示：

例1. 计算：2000?20012001?2001?20002000 精析与解答：

设2000?a，则2001?a?1

?2000?20012001?2001?20002000

?a[10000(a?1)?(a?1)]?(a?1)(10000a?a)?a(a?1)?10001?a(a?1)?10001

?a(a?1)?(10001?10001)?0 说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有2001?2000?1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例2. 已知：x?bx?c（b、c为整数）是x?6x?25及3x?4x?28x?5的公因式，求b、c的值。

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。

42注意到x?bx?c是3(x?6x?25)及3x?4x?28x?5的因式。因而也是

24224242?(3x4?4x2?28x?5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。

42 解：?x?bx?c是3(x?6x?25)及3x?4x?28x?5的公因式

4242242 ?也是多项式3(x?6x?25)?(3x?4x?28x?5)的二次因式