激光束的自聚焦、自散焦与自调制

激光束的自聚焦、自散焦与相位调制

引言：在各向同性的非线性介质中，光场会引起介质极化率的实部发生变化，或者说光致折射率变化或产生非线性折射率。光致折射率变化的效应有多种，这里只介绍光学克尔效应，它表述为介质某处折射率变化的大小与该处光强大小成正比。本文介绍自作用（自相位调制）和互作用（交叉相位调制）两种光克尔效应。还要讨论由于高斯光束横向分布的不均匀性，光束在传播过程中引起的自聚焦，自散焦效应的理论，以及相关的时间和空间自相位调制的现象。 一．光学克尔效应

光克尔效应是指光电场直接引起的折射率变化（即非线性折射率）的效应，其折射率变化大小与光电场的平方成正比，即Δn∝E2。这种效应属于三阶非线性光学效应。具有克尔效应的介质称为克尔介质。光学克尔效应因其产生的非线性极化率的方式不同而被分为两种：

（1） 自作用光学克尔效应

利用频率为ω的信号光自身的光强引起介质折射率变化，同时用一束信号光直接探测在该频率ω下的非线性极化率实部或非线性折射率的大小。

（2） 互作用光学克尔效应

演示这种光克尔效应，需要两束光：泵浦光---引起折射率变化的强光；信号光----探测介质折射率变化大小的弱光。也就是用频率不同（ω’）或偏振方向不同的强泵浦光引起介质折射率变化，同时用频率为ω的弱信号光探测介质非线性极化率实部或非线性折射率的大小。图1.给出了自作用克尔效应和互作用克尔效应的两个典型例子。

(a)自作用克尔效应 （b）互作用克尔效应

图1.两种光克尔效应

设信号光频率为ω，泵浦光频率为ω’，忽略吸收，自作用克尔效应和互作

用克尔效应的非线性极化强度分别表示为

?????2?（3）(3)P(ω)?3ε0χ(ω;ω,?ω,ω)E(ω)E(ω) （1.1）

?????2?（3）(3)P(ω)?6ε0χ(ω;ω',-ω',ω)E(ω')E(ω) （1.2）

在光波传播过程中，折射率的变化会引起光的相位的变化。考虑一个沿Z

????方向传播的平面单色波E(ω,z)=E(z)ei(kz?wt),光从z=0出发传至z=L,引起介质的折射率变化为Δn,传播常数变化为Δk,相应光波的相位变化为

ω2πΔφ=ΔKL?ΔnL=ΔnL（1.3）

cλ0上式表明光致折射率变化调制了相位，对自作用光克尔效应和互作用光克尔效应，相应地存在自相位调制（SPM）和交叉相位调制（XPM）两种。 1.1自相位调制光克尔效应

为讨论自作用光克尔效应中折射率与光场的关系，设频率为ω的强激光入射各向同性介质，仅考虑一阶和三阶效应，其中一阶极化率?(1)??(1)'?i?(1)''和三阶极化率?(3)??(3)'?i?(3)''皆取实部，则总极化强度为

????(1)??(3)P(ω)?P(ω)?P(ω) （1.4） ?????2?(1)'(3)'?ε0?E(ω)?3ε0?(ω;ω,-ω,ω)E(ω)E(ω)????????????根据D??0E?P和D??E，并定义有效三阶极化率?e(3)'?3?(3)',由（1.4）得

ε?ε0(1+?(1)'??(3)e??2'E(ω)) （1.5）

式中ε是总介电系数，为实数。利用线性介电系数的关系n0?ε'/?0和

2ε'?ε0(1?χ(1)')，得到n0?1?χ(1)',将它代入式（1.5）得到

ε?ε0(n??利用（1.6），得总折射率n为

n?(ε/ε0)1/220(3)'e??2E(ω)) （1.6）

?n0(1??e(3)'??2n0E(ω))21/2?n0??e(3)'??2n0E(ω) （1.7）

2式中，考虑到等式右边圆括号中的后一项比1小得多。式（1.7）的前项n0

为线性折射率，后项为非线性折射率，即为

Δn??e(3)'??2n0E(ω) （1.8）

2可见非线性折射率与场振幅平方成正比，比例系数为非线性折射系数，即

n2??e(3)'2n0 （1.9）

它与有效三阶非线性极化率实部成正比。（1.8）变为

??2Δn=n2E(ω) （1.10）

??21利用I?ε0cn0E(ω),由式(1.8)得

2Δn=I=n2I （1.11） 2ε0cn0?e(3)'可见非线性折射率与光强成正比，比例系数n2称为非线性折射系数，它与三阶极化率实部的关系为

n2= （1.12） 2ε0cn0?e(3)'总之克尔介质的总折射率包括线性和非线性两部分，它与光强成线性关系，即

n?n0?Δn?n0?n2I (1.13)

光克尔效应引起的光致折射率变化的物理机制很多，例如：电子极化，电致伸缩，热效应等。克尔介质的非线性折射系数越大，介质的响应速度越慢，响应时间越长。

当光束传播一定距离L时，因为克尔效应引起介质折射率的变化，而产生光束的非线性相位差为

Δφ?2π2π2ΔnL=n2EL（1.14） λ0λ01.2交叉相位调制光克尔效应

考虑一种特殊的互作用光克尔效应。频率为ω的单色信号光与频率为ω’的单色泵浦光同沿Z方向传播，但两者的偏振方向不同：泵浦光沿y方向偏振；信

号光沿x-y平面内的某任意方向偏振，如图2所示

图2.信号光（ω）与泵浦光（ω’）的传播方向和偏振方向

泵浦光引起介质折射率或极化率（实部）发生变化，从而分别由信号光电场的x和y方向分量Ex(ω,z)和Ey (ω,z)所产生的非线性极化强度的x和y分量分别为

(3)Px(3)(ω,z)?6ε0?xxyy(ω;ω',?ω',ω)E(ω')Ex(ω,z) （1.15） (3)Py(3)(ω,z)?6ε0?yyyy(ω;ω',?ω',ω)E(ω')Ey(ω,z) （1.16）

22y方向的耦合波方程为

dEy(w,z)dz?iwPy(w,z)eiΔkz 2ε0cn将（1.16）代入上式，并且Δk=0,得

dEy(w,z)dzi3k02(3)2??yyyy(ω;ω',?ω',ω)E(ω')Ey(ω,z) （1.17） k若认为泵浦光E（ω'）不随x变化，就可得y方向的信号光场强

Ey(w,z)?exp{ik0[i3k0(3)2?yyyy(ω;ω',?ω',ω)E(ω')]z} （1.18） k上式中方括弧内的量正是信号光在y方向的非线性折射率，记为Δn//,即

Δn//?3k0(3)2?yyyy(ω;ω',?ω',ω)E(ω') （1.19） k同理，信号光在x方向的非线性折射率Δn?

Δn??3k0(3)2χxxyy(ω;ω',?ω',ω)E(ω') （1.20） k这种产生光致双折射的互作用光克尔效应的强弱可由式（1.21）定义的克尔系数来度量，即

Kω'(ω)?Δn//?Δn?λE(ω')2 (1.21)

将（1.19）和（1.20）代入，可得克尔系数与三阶极化率的关系为

Kω'(ω)?3ω(3)(χ(3)yyyy?χxxyy) （1.22） 2πc光克尔效应提供了一种改变介质的折射率和光的相位的方法，在外加泵光电场的作用下，它可使各向同性的非线性介质变成各向异性的单轴晶体。当线偏振光通过长度为L的介质时，o光和e光的相位差为

Δφ=2πLKω'(ω)2π2（Δn//?Δn?)L?E(ω') （1.23） λ0nω可见o光和e光的相位差与泵浦光场强的平方成正比。 二．自聚焦

在克尔介质（具有克尔效应的介质）中传输的单模激光束，由于高斯型的横向分布，光束中心与边沿的光强不同，造成折射率沿径向的非均匀分布，介质对在其中传输的光束产生类似透镜的作用，对光束进行聚焦或散焦。折射率的变化Δn与光强I的关系由(1.13)决定，即

n?n0?Δn?n0?n2I

式中非线性折射系数n2的符号可正可负。取正值时（n2>0）为自聚焦（正透镜效应）；取负值时（n2<0）为自散焦（负透镜效应）。自聚焦和自散焦如图3所示：

（a）自聚焦 （b）自散焦

图3.自聚焦与自散焦示意图

对于自聚焦，沿介质的径向从轴心到边沿高斯光束的光强是逐步衰减的，根