2020年中考数学人教版专题复习：一元二次方程

2020年中考数学人教版专题复习：一元二次方程

一元二次方程的概念

一元二次方程必须具备三个条件：

①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2． 典例精析

典例1 【江西省赣州市蓉江新区潭东中学2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】方程2x2?5x?4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 A．2，5，4 C．?2，?5，4 【答案】D

【解析】2x2?5x?4可变形为：2x2?5x?4?0， ∴二次项系数为：2，一次项系数为：?5，常数项为：?4， 故选D．

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟记定义. 拓展

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 A．ax2?bx?c?0（a是实数）

2B．2，?5，4 D．2，?5，?4

B．?x?1??x?2???x?1?

2C．x?1?3?0 xD．2x2?1?0

解一元二次方程

一元二次方程的常见解法及适用情形：

一般形式：ax?bx?c?0(a?0) 2直接开平方法 形如(x?m)2?n(n?0)的方程，可直接开方求解，则x1??m?n，x1??m?n 可化为a(x?m)(x?n)?0的方程，用因式分解法求解，则x1??m，因式分解法 x1??n 若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为a(x?h)?k，再直接开方求解 2配方法 公式法 典例精析

?b?b2?4ac利用求根公式：x?(??b2?4ac?0) 2a典例2 若x??2是关于x的一元二次方程x?23ax?a2?0的一个根，则a的值为2_______________． 【答案】1或?4

【解析】因为x??2是关于x的一元二次方程x?23ax?a2?0的一个根， 2所以(?2)?23a?(?2)?a2?0，即a2?3a?4?0，整理得(a?4)(a?1)?0， 2解得a1??4，a2?1．故a的值是1或?4．

典例3 用配方法解方程x2?2x?1?0时，配方结果正确的是

A．(x?2)2?2

B．(x?1)2?2

C．(x?2)2?3 【答案】B

D．(x?1)2?3

【解析】因为x2?2x?1?0，所以x2?2x?1?2，即(x?1)?2． 故选B．

2拓展

2．一元二次方程3x2?8x?3?0的解是_______________．

一元二次方程根的判别式

对于方程ax?bx?c?0(a?0)，??b2?4ac， ①若???，方程有两个不相等的实数根； ②若???，方程有两个相等的实数根； ③若???，方程没有实数根． 典例精析

典例4 一元二次方程x2?7x?1?0的根的情况是 A．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 【答案】A

【解析】对于方程x2?7x?1?0，因为a=1，b=－7，c=－1，所以Δ=（–7）2–4×1×（–1）=53>0，所以方程有两个不相等的实数根.故选A.

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的个数的关系是关键.

典例5 有两个一元二次方程：①ax2?bx?c?0，②cx2?bx?a?0，其中a?c?0，以下四个结论中，错误的是

A．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根 B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是x?1 C．如果4是方程①的一个根，那么

B．有两个相等的实数根 D．没有实数根

21是方程②的一个根 4D．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异

【答案】B

22【解析】选项A，?1?b?4ac，?2?b?4ac，?1??2，所以A正确；

选项B，因为将?1分别代入方程，值相等，结合a?c?0，可知B不正确； 选项C，因为16a?4b?c?0，

11c?b?a?0，即16a?4b?c?0，故C正确； 164选项D，由根与系数关系可知D正确． 故选B． 拓展

4．下列方程中，没有实数根的是 A．x2?x?0

B．x2?x?2?0

C．x2?x?2?0

5．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k=0． （1）求证：方程总有两个实数根；

D．x2?x?2?0

（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．

根与系数关系

2设一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两根分别为x1，x2，则x1?x2??bc，x1x2?． aa典例精析

典例6 若1?3是方程x2?2x?c?0的一个根，则c的值为

A．?2

B．43?2

C．3?3 【答案】A

D．1?3 【解析】由根与系数的关系可得另一个根为2?(1?3)?1?3，所以

c?(1?3)(1?3)??2.

故选A．

22典例7 如果x1，x2是一元二次方程x2?6x?5?0的两个实根，那么x1?x2?_______________． 【答案】46

【解析】由根与系数关系，可得x1?x2?6，x1x2??5，

222则x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?36?5?2?46．

拓展

6．若方程x2-4x+1=0的两根是x1，x2，则x1(1+x2)+x2的值为_______________． 7．关于x的方程2x2?mx?n?0的两个根是?2和1，则nm的值为 A．?8

B．8 D．?16

C．16

一元二次方程在实际问题中的应用

列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题． 典例精析