数学竞赛讲义第一节
一．高中数学竞赛介绍
一试
考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 加试（二试）
考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。
二．答题策略 保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。
三．考试知识点 一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理：
1 / 201 / 20
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数及周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列及组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根及系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 3、立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。
2 / 202 / 20
截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。 5、其它
抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。
四、初中数学竞赛大纲
1、实数
十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。
素数和合数，最大公约数及最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式
综合除法、余式定理。
拆项、添项、配方、待定系数法。
3 / 203 / 20
部分分式。
对称式和轮换对称式。 3、恒等式及恒等变形 恒等式，恒等变形。
整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式
含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。 简单的一次不定方程。 列方程（组）解应用题。 5、函数
y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及y=ax2+bx+c的图像和性质。
二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。
6、逻辑推理问题
抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。 简单的组合问题。 逻辑推理问题，反证法。 简单的极端原理。 简单的枚举法。 7、几何
四种命题及其关系。
三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。
面积及等积变换。
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。
4 / 204 / 20
相关推荐：
loading