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专题强化训练(一)函数与方程思想
一、选择题
1．[2019·河南名校联考]在平面直角坐标系中，已知三点A(a,2)，B(3，b)，
C(2,3)，O为坐标原点，若向量OB⊥AC，则a2＋b2的最小值为( )
A.12 5
B.18 5
→→
C．12 D．18
→→
解析：由题意得OB＝(3，b)，AC＝(2－a,1)， →→→→
∵OB⊥AC，∴OB ·AC＝3(2－a)＋b＝0，
9?9?21822222
∴b＝3a－6，∴a＋b＝a＋9(a－2)＝10a－36a＋36＝10?a－?＋，所以当a＝
5?5?51822
时，a＋b取得的最小值，且最小值为，故选B.
5
答案：B
1
2．[2019·安徽马鞍山一模]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝，S3－a1
83
＝，则S5＝( ) 4
A.C.31 3231 8
B.D.31 1631 4
解析：易知q>0且q≠1，且
??
?a?1－q?
3－a＝，??1－q4
a1q3＝，3
1
1
18
a1＝1，??解得?1
q＝，??2
1
3231a1?1－q5?
所以S5＝＝＝，故选B.
1－q116
1－
2
1－
答案：B
3．[2019·山东滨州期中]若对于任意的x>0，不等式mx≤x＋2x＋4恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，4]
2
B．(－∞，6]
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C．[－2,6] D．[6，＋∞)
442
解析：∵x>0，∴mx≤x＋2x＋4?m≤x＋＋2对任意实数x>0恒成立．令f(x)＝x＋
xx4
＋2，则m≤f(x)min，因为f(x)＝x＋＋2≥2
xx·＋2＝6，当且仅当x＝2时取等号，所x4
以m≤6，故选B.
答案：B
x2y2
4．[2019·河北唐山一模]椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2垂直
ab于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为( )
1A. 21C. 3
2
B.D.
3 23 3
32b222
解析：由题意可得2c＝×，所以2ac＝3(a－c)，即3e＋2e－3＝0，由e
2a∈(0,1)，解得e＝答案：D
5．[2019·宁夏银川一中二模]已知不等式xy≤ax＋2y对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) C．[－1，＋∞)
2
2
2
2
3
，故选D. 3
B．[－1,4) D．[－1,6]
解析：不等式xy≤ax＋2y对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于a≥－2??对于
xyx?y?2??
yx∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立．令t＝∈[1,3]，所以a≥t－2t2在[1,3]上恒成立，又y＝－
x?1?212
2t＋t＝－2?t－?＋，则当t＝1时，ymax＝－1，所以a≥－1，故选C.
?4?8
答案：C
6．[2019·河南十所名校联考]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a6＝25，S5
＝40，则数列{an}的公差d＝( )
A．4 C．2
解析：由a3＋a6＝25，S5＝40得
B．3 D．1
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a1＋2d＋a1＋5d＝25，???5×45ad＝40，1＋?2?
答案：B
解得d＝3，故选B.
x2y2
7．[2019·安徽合肥质检一]设双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
abF1，F2，过点F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若MF2·NF2＝0，
→→
|MF2|＝|NF2|，则双曲线C的离心率为( )
A.2 C.5
B.3 D.6
→
→
2→→→→→→→→→
解析：由MF2·NF2＝0，知MF2⊥NF2.又|MF2|＝|NF2|，则|MF2|＝|NF2|＝|MN|，且∠
2→→??|MF2|－|MF1|＝2aF1NF2＝45°.由双曲线的定义得?
→→??|NF1|－|NF2|＝2a
→→→
，两式相加，得|MF2|－|NF2|＋|MN|
→→→→
＝4a，即|MN|＝4a，则|NF2|＝22a，所以|NF1|＝2a＋|NF2|＝(2＋22)a.在△NF1F2中，由→2→2→2→→22
余弦定理，得|F1F2|＝|NF1|＋|NF2|－2|NF1|·|NF2|cos∠F1NF2，即4c＝(22a)＋(2＋22)a－2×22a×(2＋22)a×
答案：B
8．[2019·河南期末联考]已知－π??＝2，则sin?β＋?＝( ) 3??
A.3
33 6
B.6 36 6
ππ
<α－β<，sinα＋2cosβ＝1，cosα－2sinβ22
22
2222
，整理，得c＝3a，所以e＝3，即e＝3，故选B. 2
C.D.
解析：由sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝2，将两个等式两边平方相加，得1πππ
5＋4sin(α－β)＝3，即sin(α－β)＝－，因为－<α－β<，所以α－β＝－，
2226π?π?π3??即α＝β－，代入sin α＋2cos β＝1，得3sin?β＋?＝1，即sin?β＋?＝，
3?3?36??故选A.
答案：A
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2?π?9．[2019·新疆昌吉月考]若关于x的不等式1＋acos x≥sin?＋2x?，在R上恒成3?2?立，则实数a的最大值为( )
1
A．－ 32C. 3
1B. 3D．1
2?π2?22
解析：1＋acos x≥sin?＋2x?＝cos 2x＝(2cosx－1)，令t＝cos x∈[－1,1]，
3?23?3则问题转化为不等式4t－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立，令f(t)＝4t－3at－5，t∈
??f?－1?＝4＋3a－5≤0，
[－1，1]，则应满足条件为?
??f?1?＝4－3a－5≤0，
2
2
11
解得－≤a≤，故选B.
33
答案：B
10．[2019·河南郑州质检二]函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，f(0)＝0，且在(0，＋∞)上可导，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝e(x－2)且f(3)＝0，则不等式
xf(x)<0的解集为( )
A．(0,2) C．(2,3)
B．(0,3) D．(3，＋∞)
x解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝e(x－2)，可知当x∈(0,2)时，
g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又f(3)＝0，f(0)＝0，则g(3)＝3f(3)＝0，且g(0)＝0，则不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，
所以不等式的解集为{x|0 答案：B x2y2 11．[2019·山东荷泽一模]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，Oab→→ 为坐标原点，A为椭圆上一点，且AF1·AF2＝0，直线AF2交y轴于点M，若|F1F2|＝6|OM|，则该椭圆的离心率为( ) 1A. 35C. 8 B.3 310 4 D. c1→→ 解析：由题意，可知|F1F2|＝2c，则|OM|＝，则tan∠MF2C＝，又AF1·AF2＝0，则∠ 33F1AF2＝90°，所以 |AF1|122 ＝，设|AF1|＝x，则|AF2|＝3x，所以2a＝3x＋x＝4x,4c＝(3x)＋|AF2|3 Ruize知识分享 c10 x2＝10x2，所以e＝＝，故选D. a4 答案：D 12．[2019·山东泰安期末]定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)>1，f(2)＝51 ，则关于x的不等式f(x)<3－的解集为( ) 2xA．(－∞，1) C．(0,1) B．(－∞，2) D．(0,2) 2 2 11xf′?x?－1 解析：令g(x)＝f(x)＋(x>0)，则g′(x)＝f′(x)－2＝>0，所以g(x)在2 xxx5111 (0，＋∞)上单调递增．又f(2)＝，则g(2)＝f(2)＋＝3，所以f(x)<3－?f(x)＋<3? 22xxg(x) 答案：D 13．[2019·甘肃、青海、宁夏联考]设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＝5，S5＝－55，则nSn的最小值为( ) A．－343 C．－320 ??a1＋6d＝5， 解析：由题意，得? ?5?a1＋2d?＝－55，???a1＝－19， 解得? ?d＝4，? 3 2 B．－324 D．－243 所以Sn＝－19n＋ n?n－1? 2 ×4＝2n－21n，nSn＝2n－21n，设f(x) 232 ＝2x－21x(x>0)，则f′(x)＝6x(x－7)，当0 答案：A 14．[2019·陕西咸阳二模]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x?π?∈(0，π)，有f′(x)sin x>f(x)cos x，且f(x)＋f(－x)＝0，设a＝2f??，b＝2 ?6? f??，c＝－f?－?，则( ) 42 A．a B．b ?π????π??? f?x?f′?x?sin x－f?x?cos x解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝>0，x∈(0，π)，2sin xsinx所以g(x)在(0，π)上单调递增．又f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数，从而g(x)为偶函
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